Aylanma sirt ta’rifini keltiring tеkislikda birоr chiziq va to’g’ri chiziq bеrilgan bo’lsin. Ta’rif

Teorema 1. Kvadratik formani musbat bo’lmaganligi uchun, uning matrisasidagi hamma bosh (burchak) minorlari musbat bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Faraz qilaylik, kvadratik forma musbat bo’lib,

tartibli minor, uning matrisasining bosh minori bo’lsin, bu yerda . Eng avvalambor minorni noldan farqli bo’lishligini, ya’ni uning satrlari chiziqli erkli ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, buning uchun , sonlar uchun

yoki

tenglikni qaraymiz. Bundan

bo’lib, ulardan

hosil bo’lib, ularning bo’yicha ta yig’indisi

va bundan

tenglik olamiz va kvadratik formaning musbatligidan

tenglikni hosil qilamiz. Bu oxirgi tenglikda vektorlarni chiziqli erkligidan kelib chiqadi va demak minorni satrlari chiziqli erkli bo’lib, u noldan farqlidir. Endi kvadratik formaga Yakobi usulini qo’llab, shunday kanonik bazis topish mumkinki, bu bazisda

bo’lib, kvadratik formaning musbatligidan

bo’lishligi kelib chiqadi.
Aksincha, agar bo’lsa, u holda Yakobi usulidan foydalanib, kanonik bazisni topamizki, bu bazisda

bo’ladi va demak forma musbat aniqlanganligini hosil qilamiz.
Tabiiyki Silvester teoremasi manfiy kvadratik formalar uchun ham o’rinli bo’lib, bu holda bosh minorlar ketma-ketligi musbat manfiy (yoki manfiy musbat) bo’lishligi zarur va yetarlidir.
Misol 2. fazoda parametrga bog’liq bo’lgan

kvadratik forma berilgan bo’lib, uning

matrisasini bosh minorlarini hisoblaymiz:

oxirgi tengsizlikni qanoatlantiruvchi parametrlar oraliqda o’zgarganda berilgan kvadratik forma musbat aniqlangan bo’ladi.
Kvadratik formaning kanonik

shaklida orasida musbatlari manfiylari bo’lishi mumkin. Musbat kvadratlari soni bu kvadratik formaning musbat indeksi deyiladi va u shaklda belgilanadi va xuddi shunday manfiy kvadratlar soniga manfiy indeksi deb, uni shaklda belgilanadi. Kanonik bazisda vektorlarni qaytadan nomerlab chiqish orqali biz hamma vaqt kvadrat formaning kanonik shaklida musbat kvadratlarini birinchi, so’ngra manfiy kvadratlarini yozib chiqishimiz mumkin. Bundan tashqari orasida nollar ham bo’lishi mumkin, ya’ni agarda kvadratik formaning rangi ga teng bo’lsa, u holda uning kanonik shaklidagi kvadratlar soni koeffisiyentlar soni noldan farqli kvadratlar yig’indisidan iborat bo’ladi va

tenglik o’rinli bo’ladi.
Bizni kvadratik forma boshqa bir kanonik bazis yordamida kanonik shaklga keltirilishida uning musbat va manfiy indekslari o’zgaradimi degan savol qiziqtirib, bu savolga inersiya qonuni deb nomlangan teorema javob beradi.