Aylanma sirt ta’rifini keltiring tеkislikda birоr chiziq va to’g’ri chiziq bеrilgan bo’lsin. Ta’rif

Misol 1. fazoning qandaydir bazisida berilgan

kvadratik formaning matrisasi

bo’lib, unda hamma o’zgaruvchilari qatnashgan hadlarini kvadrat ostiga kiritsak :

bo’lib, bu yerda

deb olsak, u holda kvadratik forma yangi o’zgaruvchilarni kvadratlarining yig’indisida

iborat bo’lib, o’zgaruvchilar vektorning yangi koordinatalari

matrisaviy tenglik orqali ifodalanib, unda o’tish matrisasi

ko’rinishda bo’lib, matrisaviy tenglikdan

bo’ladi. Bu yerda

bo’lib, kanonik bazis bazis bilan quyidagicha bog’langan:

va bu bazisdagi matrisasi

bo’ladi (hisoblab ko’rsating!).
Endi biz haqiqiy sonlar maydonida olingan kvadratik formalar bilan shug’ullanamiz. Tabiiiyki yuqorida keltirilgan bichiziqli va kvadartik formalar uchun aytilgan barcha tushunchalar va teoremalar haqiqiy formalar uchun ham o’rinli, chunki iboratdir.
Ta’rif 1. Agar vektor uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, haqiqiy kvadratik forma musbat (manfiy) deb aytiladi.
Masalan, fazoda

kvadratik forma musbat,

kvadratik forma esa manfiydir.
Agar bazis kvadratik forma uchun kanonik bo’lsa, u holda

bo’lib, u holda uning musbatligi
, , ...,
sonlarning har birini musbatligiga teng kuchlidir. Aksincha, agar vektorning kamida bitta koordinatalari noldan farqli bo’lsa, u holda

tengsizligidan kelib chiqadi.
Kvadratik formalarning musbatligi Silvestr kriteriysi deb nomlangan teorema orqali beriladi.