Aylana va uning asosiy elementlari

Aylana va Doira
REJA:

1. 
   Aylana va uning asosiy elementlari
   
2. 
   
   

Aylana va uning asosiy elementlari

Ta’rif: Tekislikda har bir nuqtasi markaz deb ataluvchi bir nuqtadan teng uzoqlikda turgan yopiq chiziq aylana deb ataladi. Aylananing ixtiyoriy nuqtasini uning markazi bilan tutashtiruvchi kesma aylana radiusi deyiladi. Aylana radiusi odatda r yoki R bilan belgilanadi. Bu kesmaning uzunligi ham radius deb ataladi

va aylananing nuqtalari uning markazidan qanday masofada joylashganligini ko‘rsatadi.

Aylananing ikkita A, B nuqtasini tutashtiruvchi AB kesma aylananing vatari deyiladi (1- chizma). Aylananing markazidan o‘tuvchi AC vatar diametr deyiladi.

Aylana o‘zi joylashgan tekislikni ikkita — ichki va tashqi sohalarga ajratadi. Agar R — aylananing radiusi bo‘lsa, tashqi sohadagi ixtiyoriy K nuqta uchun OK > R tengsizlik, agar F ichki sohaning nuqtasi bo‘lsa, OF < R tengsizlik bajariladi.

2-t a ’ r i f . Tekislikning berilgan O nuqtadan berilgan R sondan

katta bo‘lmagan masofada joylashgan nuqtalari to‘plami R

radiusli doira deyiladi.

R radiusli doiraning ixtiyoriy F nuqtasi uchun OF ≤ R tengsizlik bajariladi. Bundan R radiusli aylana doiraning chegarasidan iborat ekanligi kelib chiqadi.

1- t e o r e m a . Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqtadan

yagona aylana o‘tkazish mumkin.

Ikki radius orasidagi burchak markaziy burchak deyiladi. Aylananing barcha nuqtalarida bir xil masofadagi nuqta aylana markazi deb ataladi va ko`pincha O harfi bilan belgilanadi. Aylananing ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma aylana vatari deyiladi. Aylana markazidan o`tuvchi vatar aylana diametri deyiladi. Diametr odatda D harfi bilan belgilanadi. Aylananing markazi barcha diametrlarning o`rtasidir. Diametr ikki radiusga teng va aylanani teng ikkiga bo`ladi.


Shunga o‘xshash, A va B nuqtalardan teng uzoqlikda joylashgan nuqtalar AB kesmaga o‘rta perpendikularda yotadi, B va C nuqtalardan teng uzoqlikda joylashgan nuqtalar BC kesmaga o‘rta perpendikularda yotadi. U vaqtda bu o‘rta perpendikularlar kesishadigan

O nuqta A, B va C nuqtalarning barchasidan teng uzoqlikda joylashgandir va, demak, ulardan o‘tuvchi aylananing markazidan iborat.

Ta’rif: Aylana bilan birgina umumiy nuqtaga ega bo`lgan to`g`ri chiziq urinma deyiladi va umumiy nuqta urinish nuqta deyiladi. T e o r e m a. Aylananing urinish nuqtasiga tegishli radius urinmaga perpendikulyardir.

Umumiy nuqtaga ega bo`lgan ikkita aylana shu umumiy nuqtada umumiy urinmaga ega bo`lsa, ular bu nuqtada urinadi deyiladi. Aylananing uzunligi deb, unga ichki yoki tashqi chizilgan muntazam ko`pburchak perimetrining ko`pburchak tomonlari soni cheksiz ortgandagi limitga aytiladi. Har qanday aylana uzunligining o`z diametriga nisbati o`zgarmas son bo`ladi.

Aylana uzunligini uning diametriga nisbatini yunon alifbosining π harfi bilan

belgilash qabul qilingan (“pi” deb o‘qiladi). Aylana uzunligining uning diametriga

nisbatini “π” harfi bilan belgilashni buyuk matematik Leonard Eyler (1707—1783)

fanga kiritgan. Yunonchada “aylana” so‘zi shu harf bilan boshlanadi. π irratsional son bo‘lib, amaliyotda uning 3,1416 ga teng bo‘lgan taqribiy qiymatidan

foydalaniladi.

Shunday qilib, C/2R= π. Bu tenglikdan radiusi R ga teng aylana uzunligi uchun

C =2πR formulani hosil qilamiz.

Aylana uzunligini hisoblash juda qadimdan dolzarb muammo bo‘lgan.

Aylana uzunligini unga ichki chizilgan ko‘pburchak perimetriga almashtirish usuli keng tarqalgan.

O‘rta Osiyolik matematiklar ham doiraga ichki chizilgan muntazam ko‘pburchaklarni

yasash, ularning tomonlarini doiraning radiusi orqali ifodalash masalalari bilan

shug‘ullanganlar. Abu Rayhon Beruniy “Qonuni Mas’udiy” asarida doiraga ichki chizilgan

ko‘pburchaklarning tomonini aniqlash bilan shug‘ullanib, ichki chizilgan beshburchak,

oltiburchak, yettiburchak,..., o‘nburchak tomonlarini aniqlash usulini ko‘rsatadi. Bu

hisoblash natijasida u π ≈ 3,14 qiymatga ega ekanligini aniqlaydi.

Qadimgi Bobil va Misr qo‘lyozmalari va mixxatlarida π uchga teng deb olingan. Bu

o‘sha davr aniqlik talabi uchun yetarli bo‘lgan. Keyinchalik rimliklar π uchun 3,12 ni

ishlatishgan. π soni uchun Arximed bergan qiymat 3,14 bo‘lib, bu amaliy masalalarni hal

qilishda juda ma’qul edi.

Mirzo Ulug‘bekning “Astronomiya maktabi” namoyandalaridan biri Jamshid G‘iyosiddin

al-Koshiy 1424-yilda yozgan “Aylana uzunligi haqida kitob” nomli risolasida aylanaga

ichki va tashqi chizilgan muntazam ko‘pburchak tomonlari sonini ikkilantirish yo‘li bilan

3•228 = 800 335 168 tomonli muntazam ko‘pburchaklar perimetrini hisoblab, π uchun

π = 3,1 415 826 535 897 932 qiymatni hosil qilgan. Bu 16 ta o‘nli raqamgacha aniqdir.

Ammo al-Koshiyning asari uzoq vaqtgacha Yevropada noma’lum bo‘lgan.

Yevropaliklardan belgiyalik Van Romen 1597- yilda 230 tomonli muntazam ko‘pburchakka

Arximed usulini tatbiq etib, π uchun 17 ta o‘nli raqamlari aniq bo‘lgan qiymat topgan.

Gollandiyalik Rudolf van Seylon (1540–1610) bu aniqlikni 35 ta o‘nli raqamlargacha

olib borgan. Hozirgi davrda elektron hisoblash mashinalari yordamida π uchun milliondan

ortiq o‘nli raqamlari aniq bo‘lgan qiymatlar topilgan. Kundalik hisoblashlar uchun 3,14

qiymat, matematik hisoblashlar uchun 3,1416 qiymat, hatto astronomiya va kosmonavtika

uchun 3,1415826 qiymat kifoyadir.

3. Markaziy va ichki chizilgan burchaklar

1. Markaziy burchaklar. Berilgan aylananing ikkita A va B nuqtasidan AB to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz (5- chizma). Bu to‘g‘ri chiziq tekislikni ikkita yarimtekislikka ajratadi. Aylananing bu

yarimtekisliklarda yotuvchi qismlari uning yoylari deyiladi. Agar AB diametrdan iborat bo‘lsa, aylananing yoylari yarimaylanalar deyiladi.

Agar AB diametr bo‘lmasa, aylananing markazi yarimtekisliklardan biriga tegishli bo‘ladi. Aylananing ana shu yarimtekislikka tegishli yoyi yarimaylanadan katta yoy deb ataladi. Boshqa yoy esa yarimaylanadan kichik yoy deyiladi. Agar aylananing O markazini kichik yoyning nuqtalari bilan tutashtirsak, bu radiuslar AB vatarni kesib o‘tadi. Agar O markazni katta yoyning nuqtalari bilan tutashtirsak, bu radiuslar AB vatar bilan kesishmaydi.

T a ’ r i f . Uchi aylananing markazida yotgan burchak uning

markaziy burchagi deyiladi.

Ravshanki, aylanada olingan ikkita A va B nuqta aylananing O markazi bilan birga ikkita markaziy burchakni aniqlaydi. Agar ∠AOB yoyiq burchak bo‘lmasa, yoylardan biri yarimaylanadan kichik, boshqasi esa yarimaylanadan katta bo‘ladi (5- chizma).

Agar AB yoy yarimaylanadan kichik bo‘lsa, uning gradus o‘lchovi markaziy AOB burchakning gradus o‘lchoviga teng deb hisoblanadi. Agar AB yoy yarimaylanadan katta bo‘lsa, uning

gradus o‘lchovi 360° – ∠AOB, bunda ∠AOB < 180° ifodaga teng deb hisoblanadi. Bu yerdan aylananing umumiy uchlarga ega bo‘lgan ikkita yoyining gradus o‘lchovlari yig‘indisi 360° ga teng bo‘lishi kelib chiqadi.


1.Aylanaga o’tkazilgan urinma

Tekislikda aylana va to‘g‘ri chiziq o'zaro uch xil holatda joylashishi mumkin (6- rasrn).

Aylana va to‘g‘ri chiziq umumiy nuqtaga ega emas (kesish- niaydi) (6- a rasm); bitta umumiy nuqtaga ega (6- b rasm); ikkita umumiy nuqtaga ega (kesishadi) (6- d rasm).

T a ’ r i f. To 'g 'ri chiziq bilan aylana faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa. bu to'g'ri chiziq aylanaga urinma deb ataladi.

To'g'ri chiziq bilan aylananing bu umumiy nuqtasi (C) urinish nuqtasi deyiladi (76-6 rasm).

Aylananing markazi O nuqtadan l to‘g‘ri chiziqqa OC perpendikulyami tushiraylik. OC perpendikulyaming uzunligi aylana markazidan / to‘g‘ri chiziqqacha bo'lgan masofani beradi.

6-Rasm