Аналитическая геометрия на плоскости

Решение: Обозначим угловой коэффициент искомой прямой через , тогда данная прямая имеет угловой коэффициент . Из условия задачи тангенс угла между этими прямыми , с другой стороны
, откуда ,
т.е. а) или б) .
Теперь нетрудно написать уравения этих прямых:
а) ;
б) .

Пример 9. На прямой найти точку М, равноудаленную от точек А(3;5) и В(2;6).
Решение: Обозначим координаты точки М как .
Тогда , и с учетом МА=МВ имеем
.
Точка лежит на прямой , т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению прямой.
Тогда откуда т.е. М(1;4)
Пример 10. Найти точку, симметричную точке M(4;5) относительно прямой .
Решение:

Пусть N - искомая точка. Точки М и N лежат на прямой MN, перпендикулярной прямой 1, и равноудалены от этой прямой, т.е. , где - проекция точки М на данную прямую.
Найдем уравнение прямой MN. Так как угловой коэффициент данной прямой , то угловой коэффициент прямой MN должен быть . Тогда уравнение прямой MN имеет вид или .
Найдем координаты точки :

откуда . Так как точка делит пополам отрезок MN координаты точки N могут быть найдены из соотношений
и ,
откуда .
Пример 11. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: и , а также точка пересечения его диагоналей Е(3;3). Найти уравнение двух других сторон параллелограмма.
Решение: Так как коэффициенты в уравнениях сторон параллелограмма не пропорциональны, то даны пересекающиеся стороны. Пусть это стороны АВ и АС.

1. 
   Найдем координаты точки А как точки пересечения двух прямых:
   

откуда и .

2. 
   Далее, пусть точка С – точка пересечения искомых сторон. Точка Е(3;3) делит диагональ АС пополам. Значит:
   

, откуда ,
, откуда .
Итак, .
3. Найдем уравнение прямой CD. Для этого найдем угловой коэффициент прямой из условия параллельности прямых АВ и CD: , откуда , и уравнение пучка прямых для точки С имеет вид или , откуда уравнение стороны CD имеет вид или, окончательно, .
4. Найдем уравнение прямой СВ. Для этого найдем угловой коэффициент прямой из условия параллельности прямых AD и СВ: , откуда , и уравнение пучка прямых для точки С имеет вид или , откуда уравнение стороны СВ имеет вид или, окончательно, .