Аналитическая геометрия на плоскости

5.2.5. Различные положения эллипса
Уравнение эллипса с центром в точке имеет вид

Так, например, эллипс имеет вид

Если в уравнении , то большая ось и фокусы этого эллипса лежат на оси Оу, а малая ось – на оси Ох. Для такого эллипса .
Например, эллипс имеет следующий вид:

5.3. Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
5.3.1. Уравнение гиперболы
Пусть М – любая точка плоскости, F₁ и F₂ – заданные точки (фокусы)

Определение эллипса выражается формулой .
Обозначение расстояние - фокусное расстояние. Тогда из треугольника получим , откуда . Выведем уравнение эллипса. Рассмотрим систему координат Оху.
Во введенной системе координат Оху фокусы имеют координаты .

Если точка принадлежит гиперболе, то по ее определению , где .
Подставив в равенство координаты точек М, F₁, F₂, получим

или
.
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
,
,
.
Последнее уравнение разделим на 4 и снова возведем в квадрат:
.
Раскрыв скобки и произведя упрощения, получим уравнение
,
в котором , поскольку .
Из этого следует, что можно ввести обозначение и записать уравнение гиперболы в виде . Разделив на получим уравнение гиперболы:
,
где .
Такое уравнение гиперболы называется каноническим.