Аналитическая геометрия на плоскости

5.3.4. Свойства гиперболы
Фокальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фокусов постоянна и равна 2а.
Директориальное свойство гиперболы: отношение расстояния от любой точки гиперболы до его фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса: .
Оптическое свойство гиперболы: касательная в любой точке гиперболы образует с фокальными радиусами точки касания равные углы (изображение точечного источника света, расположенного в одном из фокусов, есть мнимое и находится в другом фокусе гиперболы).

5.3.5. Различные положения гиперболы.
Уравнение гиперболы с центром в точке
.
Так, например, гипербола имеет вид

Уравнение гиперболы, ветви которой направлены вдоль оси Оу, имеет вид

Такая гиепрбола называется сопряженной. Для такой гиперболы действительная ось 2b располагается на оси ОY, а мнимая ось 2а – на оси ОХ.
Очевидно, что сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты.

Пример. Построить кривую, заданную уравнением .
Решение. разделив укаждое слагаемое заданного уравнения на 4, запишем его в виде . Это уравнение задает на плоскости гиперболу с полуосями . Гипербола с равными полуосями называется равнобочной, ее асимптотами являются биссектрисы координатных углов .
При у=0 получим уравнение , не имеющее вещественных корней, т.е. гипербола не пересекает ось Ох.
При х=0 получим уравнение , имеющее корни . Следовательно, вершины гиперболы лежат на оси Оу.
Фокусы гиперболы расположены на той же оси, на которой находятся ее вершины. Из того, что и , следует: координаты фокусов равны и . Эксцентриситет гиперболы .