Аналитическая геометрия на плоскости

5.4.3. Свойства параболы
Директориальное свойство параболы: парабола есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и равно единице.
Оптическое свойство параболы: касательная в любой точке параболы образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и положительным направлением оси абсцисс.

Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса F, отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все луч, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиволн или поток параллельных лучей света и коцентрируют его в фокусе зеркала.
5.4.4. различные положения параболы
Уравнение параболы с вершиной в точке , если ось симметрии параллельна Ох.

, если ось симметрии параллельна Оу.

Знак “±” показывает направление ветвей параболы. Если в уравнении знак “+”, то направление ветвей совпадает с направлением оси, которой параллельна ось симметрии параболы.
Если уравнении знак “-”, то направление ветвей противоположно направлению оси, которой параллельна ось симметрии параболы.
Уравнение параболы с вершиной в точке :
ось симметрии параллельна Ох;
, ось симметрии параллельна Оу
Так, например, на рисунке изображена парабола .

Вопросы для самопроверки

1. 
   Что называется кривой второго порядка?
   
2. 
   Выведите уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).
   
3. 
   Дайте определение эллипса, гипербола, параболы.
   
4. 
   Выведите каноническое уравнение эллипса, гиперболы, параболы.
   
5. 
   Покажите, что окружность является частным случаем эллипса.
   
6. 
   Что называется вершинами эллипса? Каковы их координаты?
   
7. 
   Что называется большой и малой осями (полуосями) эллипса?
   
8. 
   Дайте определение фокусов эллипса.
   
9. 
   Что называется эксцентриситетом эллипса и гиперболы? Как он характеризует форму эллипса и гиперболы?
   
10. 
    Что называется директрисами эллипса и гиперболы? Каковы их свойства?
    
11. 
    Какие прямые называются асимптотами гиперболы?
    
12. 
    Дайте определение равносторонней гиперболы.
    
13. 
    Что называется параметром параболы? Как, зная параметр параболы, определить ее фокус и директрису?
    
14. 
    Как характеризует форму параболы ее параметр?
    
15. 
    Чем отличаются эксцентриситеты эллипса, гиперболы и параболы?
    
16. 
    Какие примеры использования кривых второго порядка вы знаете?
    

Практическая часть 3
Кривые второго порядка
Пример 1. Написать уравнение окружности с центром в точке А (-1;2) и радиуса R=2. Лежит ли точка О(0;0) на этой окружности?
Решение. Уравнение окружности с центром в точке А имеет вид , и точка О не лежит на ней, т.к. ее координаты не удовлетворяют уравнению окружности: .
Пример 2. Написать уравнение окружности, касающейся оси абсцисс в точке А (3;0) и имеющей радиус, равный 6.
Решение.

Пусть - центр окружности (абсцисса центра окружности равна абсциссе точки касания и по условию равна 3). Найдем ординату центра окружности: , откуда , т.е. имеется два центра и .
Таким образом, условию задачи удовлетворяют две окружности:
и
Пример 3. Центр окружности находится в точке . Написать уравнение окружности, если она касается прямой .
Решение. Так как угловой коэффициент касательной , то угловой коэффициент прямой , перпендикулярной касательной, равен . Поэтому уравнение прямой имеет вид или .

Координаты точки А найдем как координаты точки пересечения двух прямых:
откуда
т.е. А(1;4).
Радиус окружности , и искомое уравнение окружности имеет вид
.