Аналитическая геометрия на плоскости

Пример 8. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением .
Решение.

1. 
   Найдем координаты нижней вершины: , откуда , и , т.к. необходимы координаты нижней вершины.
   
2. 
   Найдем координаты левого фокуса: .
   
3. 
   Уравнение прямой, проходящей через две точки:
   

.
Пример 9. Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его верхней вершине.
Решение. Каноническое уравнение данного эллипса: .
1.Найдем координаты верхней вершины: , откуда , и , т.к. нам необходимы координаты верхней вершины, т.е. центр окружности находится в точке А(0;1).
2. Найдем координаты фокусов: , .
3. Радиус R искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между фокусом и центром окружности::
.

4. 
   Записываем искомое уравнение окружности:
   

или .
Пример 10. Составить уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса
.
Решение. Для эллипса:
.
Для гиперболы:
.
Уравнение искомой гиперболы:
.

Пример 11. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением
.
Решение. Для эллипса:

Для гиперболы по условию также . Тогда с учетом имеем по условию задачи , откуда . Но . откуда .
Искомое уравнение гиперболы: .
Пример 12. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат при следующих условиях и найти недостающие параметры (уравнения директрис, фокусы):

1. 
   Парабола симметрична относительно оси ОY и проходит через точку А(4;2);
   
2. 
   Парабола симметрична относительно оси ОХ и проходит через точку .
   

Решение.

1. 
   Парабола симметрична относительно оси OY, ветви ее направлены вверх, следовательно, ее уравнение имеет вид .
   

Подставив в это уравнепние координаты точки А(4;2), находим , откуда .
Искомое уравнение параболы: .
Уравнение директрисы:
Фокус: , т.е. .

2. 
   Парабола симметрична относительно оси ОХ и проходит через точку .
   

Парабола симметрична относительно оси ОХ, ветви ее направлены влево, следовательно, ее уравнение имеет вид . Подставив в это уравнение координаты точки А, находим , откуда р=2.
Искомое уравнение параболы: .
Уравнение директрисы: .
Фокус: , т.е. .
Пример 13. На параболе найти точку, расстояние которой от фокуса параболы равно 20.
Решение. Из канонического уравнения параболы получим, что параметр параболы равен 4. Следовательно, фокус параболы совпадает с точкой F(0;2).
Пусть искомая точка М параболы имеет координаты х и у. тогда по условию задачи имеем
.
Итак, искомые точки есть точки пересечения полученной окружности и данной параболы. Решая совместно уравнение окружности с уравнением параболы, получим квадратное уравнение относительно х:
.
Корни уравнения равны . Очевидно, что второй корень не подходит, т.к. должно быть . Подставляя значение первого корня в уравнение параболы, получим уравнение , откуда .
Таким образом, искомые точки, лежащие на параболе, имеют координаты (18;12), (18;-12).
Пример 14. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точку пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси OY.
Решение. Найдем точки пересечения прямой и окружности:
,
откуда точки пересечения имеют координаты О(0;0) и точка А (2;-2).

Так как парабола проходит через О(0;0) и симметрична относительно оси OY, то ее уравнение имеет вид . Подставляя координаты точки А, находим параметр , откуда .
Итак, уравнение параболы , уравнение директрисы .
Пример 15. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А (-4;0) втрое дальше, чем от начала координат.
Решение: Расстояние между двумя точками и определяется формулой .
Пусть точка М(х;у) принадлежит искомой линии, тогда


По условию , т.е. , откуда или .
Приведем полученное уравнение к каноническому виду:
.
Это уравнение окружности радиуса c центром в точке .

Пример 16. Найти уравнение и построить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки С(-1;0) остается вдвое меньше расстояния от прямой х=2.
Решение. Расстояние между двумя точками и определяется формулой

Пусть точка М(х,у) принадлежит искомой линии, тогда
;
.
По условию , т.е. , откуда или .
Приведем полученное уравнение к каноническому виду
.
Это уравнение эллипса с центром в точке О(-2;0) и полуосями 2 и .

Пример 17. Построить кривую .
Решение. Так как , то накладываемые ограничения на перенменную . Преобразуем уравнение: . Возведем обе части в квадрат: . При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют исходному уравнению. Эти посторонние точки отбросим позднее.
Выделим полный квадрат по переменному у:

и окончательно:

-каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 и .

С учетом ограничения на переменную х, от нарисованного выше эллипса нужно оставить только левую половину.

Последний рисунок и является ответом к задаче.