Аналитическая геометрия координаты Аполлония

p ₌ − cos(α−β) cos(α+β) ₌ sin² α sin² β−cos² α cos² β ₌

^a cos² α
cos² α
=tg² α sin² β−cos² β.

В силу формулы (5.11)
e² = ^p +1=(tg² α+1) sin² β= ^sin2 ^β ,
^a cos² α
откуда находим, что в случае гиперболы также имеет место формула (6.26). Формула (6.26) верна также в случае параболы, когда β=δ=

−
=90^◦ α и sin β=cos α.
В случае конических сечений, которые рассматривались пред- шественниками Аполлония и высекались из поверхности прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной одной из прямо- линейных образующих конуса, эксцентриситет конического сечения зависит только от угла α. В этом случае β=α, и формула (6.26) при- нимает вид
e=tg α. (6.27)
В случае окружности роль прямого кругового конуса играет пря- мой круговой цилиндр, и α=0. В случае эллипса 0<α<45^◦, в случае параболы α=45^◦, в случае гиперболы α>45^◦.

Прямые стороны как удвоенные координаты некоторых точек конических сечений

Найдем точки конических сечений (5.4), (6.16) и (6.18), ординаты которых равны p, т. е. половине прямой стороны конического сечения.

Для параболы (5.4) такой точкой является точка с абсциссой x=

·
=p/2, так как y² =2p p/2=p².
Для эллипса (6.16) такими точками являются точки, абсциссы x
которых равны ±^√a² −b², так как соотношение ^a2 ^−b2 + ^y2 =1 равно-

сильно соотношению y²=b⁴/a² =p².

_a2 _b2

Для гиперболы (6.18) такими точками являются точки, абсцис-

p
сы x которых равны ±
² +b², так как соотношение ^a2 ^+b2 − ^y2 =1

a
равносильно соотношению y² =b⁴/a² =p².
_a2 _b2

Асимптоты гиперболы

Аполлоний определяет асимптоты гиперболы в предложении II₁:

<Если прямая является касательной к гиперболе в ее вершине и если на этой прямой по обе стороны от диаметра отложены отрезки, ква- драты которых равны четверти эйдоса, то прямые, которые проведены из центра сечения к концам определенных таким образом отрезков ка- сательной, не встретят сечение> (рис. 31) [25, т. 2, с. 2].

·
Поскольку площадь эйдоса равна 2a 2p=4b², отрезки BD и BE, откладываемые на касательной к гиперболе в ее точке B, равны b. Каждую из прямых CD и CE, соединяющих центр C гиперболы с точками D и E, Аполлоний называет <асимптотой> (asymptota — <не- совпадающая>; это слово — того же корня, что и symptoma). Таким образом Аполлоний определяет асимптоты как диагонали параллело- грамма, одна из сторон которого равна и параллельна диаметру AB=2a гиперболы, а другая — линия DE=2b.
Аполлоний доказывает эту теорему от противного, предполагая, что асимптота CD имеет общую точку H с гиперболой. Из точки H он проводит ординату HO гиперболы, то-
гда CO является абсциссой x точки H. Если H — точка асимптоты, то ее орди-
ната OH равна ^b x, если же H — точка
a
гиперболы, то ее ордината y удовлетворяет уравнению (6.18) и квадрат ординаты y² равен
b2 _{x2 b 2} 2
_a2 −1 = _ax −b ,

и ордината y точки гиперболы меньше, чем ^b x.
a

Рис. 31

Из этого предложения следует, что асимптоты гиперболы (6.18) определяются уравнением
_x2 _y2
_a2 − _b2 =0. (6.28)
В предложении II₂ доказывается, что каждый диаметр гиперболы, проходящий внутри угла DCE, пересекается с гиперболой и поэтому не может быть асимптотой.
В предложении II₃ доказывается, что касательная к гиперболе в любой ее точке пересекается с обеими ее асимптотами, и отрезок касательной между асимптотами делится в точке касания пополам. Предложение II₄ является задачей о построении гиперболы с дан- ными асимптотами CD и CE, проходящей через данную точку, нахо-
дящуюся внутри угла DCE.
Из предложений II₈—II₁₆, в которых рассматриваются асимптоты гипербол, отметим следующие предложения.
Предложение II₁₂ <Конических сечений> гласит: <Если из точки сечения проведены две прямые к асимптотам, и если из некоторой точки этого сечения проведены параллели к этим прямым, то прямо- угольник под параллелями будет равен прямоугольнику под прямыми, которым они параллельны> [25, т. 2, с. 22].
В случае, когда проведенные прямые параллельны самим асим- птотам гиперболы, это предложение равносильно уравнению ги- перболы
xy=const (6.29)
в системе координат, осями которой являются асимптоты.
Уравнение (6.29) является частным случаем уравнения (6.22). В предложении II₁₃ доказывается, что прямая линия, параллель-
ная одной из асимптот гиперболы, пересекает ее в одной точке. Направление асимптоты гиперболы современные математики называ- ют <асимптотическим направлением гиперболы>. В предложении I₂₆ говорится, что аналогичным свойством обладают прямые, проведенные в направлении оси параболы, которое называют <асимптотическим на- правлением параболы>.
В предложении II₁₄ Аполлоний доказывает, что асимптоты гипер- болы и сама эта гипербола, продолженная неопределенно, приближа- ются друг к другу, и расстояние между ними при их продолжении становится меньше любого заданного расстояния.

| − |
К формулировке этого предложения весьма близки определе- ния Карла Вейерштрасса (1815—1897) предела последовательности и непрерывности функций: число a является пределом последователь- ности a_n, если для всякого ε>0 существует такое число N, что для всех