Аналитическая геометрия координаты Аполлония

ABC получаем равенство

BC ₌ AC
= ^AB . (6.8)

sin 2α sin γ
sin δ

В случае параболы диаметр GI параллелен стороне AC, откуда следует, что β=δ. Поэтому формула (6.2) равносильна формуле

2p ₌ sin² 2α


. (6.9)

r sin β sin γ
В силу теоремы синусов плоской тригонометрии для треугольни- ков ABJ и AJC (рис. 28, а, б) получаем равенства

AB
= ^AJ = ^BJ , (6.10)

sin β
AJ
sin δ
sin γ
₌ AC
sin β
sin(β+γ)
= ^JC . (6.11)
sin(β−δ)

Рис. 27

Рис. 28

Поэтому формула (6.5) равносильна формуле

2a ₌ sin γ sin δ _{. (6.12)}
2p sin(β+γ) sin(β−δ)


Сопряженные диаметры
и центры конических сечений

В предложении I₁₅ Аполлоний доказывает, что прямая линия, проходящая через середину диаметра эллипса в направлении ординат, проведенных к этому диаметру, является диаметром эллипса, сопря- женным с этим диаметром. Отсюда следует, что понятие сопряженных диаметров является взаимным.

В предложении I₁₆ Аполлоний доказывает, что прямая линия, про- ходящая через середину поперечного диаметра двух противоположных гипербол в направлении ординат, проведенных к этому диаметру, явля- ется восставленным диаметром этих гипербол, сопряженным с первым диаметром.
После предложения I₁₆ Аполлоний приводит <Вторые определе- ния>. В первом из этих определений Аполлоний называет середину поперечной стороны конического сечения центром этого сечения и тем самым распространяет на конические сечения понятие центра кру- га. Здесь же Аполлоний называет отрезок поперечной стороны между центром и вершиной конического сечения тем же термином, которым Евклид называл радиус круга. В другом предложении Аполлоний до- казывает, что в каждом коническом сечении, обладающем центрами, все центры совпадают, и такое коническое сечение обладает единствен- ным центром.
Далее Аполлоний вводит термин <второй диаметр> коническо- го сечения, которым он называет отрезок диаметра, сопряженного

Рис. 29
с диаметром, содержащим поперечную сто- рону, и равный средней пропорциональной величине между прямой и поперечной сто- ронами конического сечения. Если попереч- ная сторона конического сечения равна 2a, а прямая сторона — 2p, то средняя пропорци- ональная величина между линиями 2a и 2p, которую мы будем обозначать 2b, определя- ется пропорцией
2a:2b=2b:2p, (6.13)
равносильной соотношению