Аналитическая геометрия координаты Аполлония

n>N выполняется неравенство a a_n <ε; функция f (x) непрерывна
в точке x=x₀, если для всякого ε>0 существует такая величина η>0,

| − | | − |
что если x x₀ <η, выполняется неравенство f (x) f (x₀) <ε. Воз- можно, что эти определения Вейерштрасса возникли под влиянием рассматриваемого предложения Аполлония.
В предложении II₁₅ доказывается, что две противоположные ги- перболы имеют одни и те же асимптоты. Это утверждение следует из того, что противоположные гиперболы определяются одними и те- ми же уравнениями.
В предложениях II₅—II₇ доказывается, что если диаметр кони- ческого сечения делит пополам его хорды, то касательная в конце диаметра параллельна этим хордам, а также обратные утверждения.

Геометрические места к трем и четырем прямым

В предисловии к I книге <Конических сечений> Аполлоний упо- минает <геометрические места точек к трем и четырем прямым>.

Пусть на плоскости даны три или четыре прямые с уравнениями
a_ix+b_iy=c_i (i=1, 2, 3, 4). (6.30) Если эти уравнения нормированы условиями a² +b²=1, то вели-
i i

−
чины d_i =a_ix+b_iy c_i равны расстояниям от точки M с координатами x, y до прямых (6.30). Геометрическое место точек к четырем прямым определяется условием
d₁d₃ =kd₂d₄, (6.31)
а геометрическое место к трем прямым определяется условием

2
d₁d₃ =kd². (6.32)
Если мы подставим в формулы (6.31) и (6.32) выражения d_i, мы получим частный случай уравнения (6.23). Поэтому геометрические
места к трем и четырем прямым представляют собой кривые второ- го порядка, т. е. в общем случае конические сечения. Во введении к I книге <Конических сечений> Аполлоний писал, что эту задачу ис- следовал еще Евклид, но предложенное им решение было неполным, и его нельзя было довести до конца без новых открытий Аполлония, изложенных в III книге <Конических сечений>.
Г. Цейтен [59, с. 126—149] доказал, что из предложений III₅₃— III₅₆, содержащих построение конического сечения с помощью проек- тивного соответствия двух пучков прямых, можно вывести, что искомое геометрическое место является коническим сечением, и любое кониче- ское сечение есть геометрическое место к трем или четырем прямым. Приведенное нами решение этой задачи было получено Рене Декар- том (1596—1650) как первый пример применения его аналитической геометрии.
Связь между пересечением прямых и парами точек конических сечений

В предложениях II₂₄ и II₂₅ Аполлоний устанавливает связь меж- ду пересекающимися прямыми и парами точек конических сечений, общих с этими прямыми. Аполлоний доказывает, что если прямые AB

и CD пересекаются с коническим сечением в точках A, B, C, D и если точка пересечения прямых AB и CD — внутренняя точка конического сечения, то пары точек A, B и C, D конического сечения разделяют друг друга, а если точка пересечения прямых — внешняя точка кони- ческого сечения, то пары точек A, B и C, D не разделяют друг друга. Аполлоний формулирует это утверждение только для параболы и ги- перболы и не формулирует его для эллипса, для которого это условие также имеет место, по-видимому, по той причине, что выполнение этого правила для окружности общеизвестно, а правило для эллипса легко получить из правила для окружности сжатием окружности к ее диаметру.


Нахождение диаметров, центров и осей конических сечений

В предложении II₄₄ Аполлоний находит диаметры конических сечений. В силу предложения II₇ диаметр конического сечения нахо- дится как прямая линия, соединяющая середины двух параллельных хорд сечения.

В предложении II₄₅ находится центр эллипса или гиперболы как точка пересечения двух диаметров этих конических сечений.
В предложении II₄₆ определяется ось параболы. Если найденный диаметр параболы не является ее осью, то проводится хорда параболы, перпендикулярная найденному диаметру, и осью параболы является прямая линия, проведенная через центр этой хорды параллельно ее диаметру.
В предложении II₄₇ находятся оси эллипса и гиперболы. Если най- денный диаметр не является осью, то из центра конического сечения проводится дуга окружности, пересекающая сечение в двух точках, проводится хорда, соединяющая эти точки. Одна из осей — прямая ли- ния, проходящая через центр сечения и середину проведенной хорды, вторая ось — прямая линия, проходящая через центр сечения и парал- лельная проведенной хорде.
Уравнение (6.23) можно переписать в векторной форме
⁻x^→Φ⁻x^→+2⁻V^→−x^→+F =0, (6.33)

где Φ — линейный оператор с матрицей