Аналитическая геометрия координаты Аполлония

Ax² +2Bxy+Cy²+F =0. (6.22)
В наиболее общей системе координат уравнение конического се- чения имеет вид
Ax² +2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F =0. (6.23)
Уравнения (6.22) и (6.23) кроме конического сечения могут определять также пару вещественных или мнимо сопряженных пересе- кающихся прямых, а в том случае, когда этим уравнениям не удовле- творяет ни одна точка плоскости, их называют уравнениями мнимых конических сечений; уравнение (6.23) может определять также пару вещественных или мнимо сопряженных параллельных прямых, а так- же пару совпадающих прямых.
Преобразования координат

В предложениях I₄₆—I₅₁ Аполлоний рассматривает преобразова- ния координат, сохраняющие вид уравнений конических сечений.

В предложении I₄₆ доказывается, что всякая прямая, параллельная оси параболы, является ее диаметром.
В предложении I₄₇ доказывается, что всякая прямая, проходящая через центр эллипса или гиперболы, является диаметром этого кони- ческого сечения.
Далее Аполлоний показывает, что уравнения (5.4), (5.5) и (5.6) парабол, эллипсов и гипербол получаются всегда, когда за ось абсцисс принимается произвольный диаметр конического сечения, а за ось ординат — касательная к сечению в конце этого диаметра.
В общем случае эта система координат косоугольная, система координат является прямоугольной в том случае, когда за ось абсцисс принимается ось конического сечения.

Прямой круговой конус

−
В прямом круговом конусе (рис. 30, а—в) γ=δ=90^◦ α, и формула (6.9) принимает вид


^p = ^{2 sin}2 ^{α cos}2 ^α =2 sin² α, (6.24)
^r cos² α

а формула (6.12) принимает вид


a ₌ cos² α


. (6.25)

p sin(90^◦ −α+β) sin(90^◦ −α−β)
В случае парабол, с помощью которых Менехм решал задачу об удвоении куба, α=45^◦ и p/r=2 sin² 45^◦=1, т. е. p=r.

Рис. 30

В случае эллипса β<γ, т. е. α+β<90^◦, и формула (6.22) равно- сильна формуле
p ₌ cos(α−β) cos(α+β) ₌ cos² α cos² β−sin² α sin² β ₌

^a cos² α
cos² α
=cos² β−tg² α sin² β.

В силу формулы (5.10)
e² =1− ^p =sin² β(1+tg² α)= ^sin2 ^β ,

откуда находим

^a cos² α


e= ^{sin β} . (6.26)
cos α

В случае гиперболы γ<β, т. е. α+β>90^◦, и формула (6.25) равносильна формуле