Аналитическая геометрия координаты Аполлония

p= ^b2 . (6.14)
a
Если в случае эллипса (5.5) и пары про- тивоположных гипербол (5.6) перенести на-

чало координат из вершины конического сечения в его центр, то для эллипса (рис. 29, а) это преобразование координат состоит в замене абсциссы x суммой x+a. Произведя эту замену в уравнении (5.5), мы получим уравнение

т. е.
y² =2px+2pa− ^p x² −2px−pa,



a

−
y² =pa ^p x². (6.15)
a

В силу соотношения (6.14) p/a=b²/a². Разделив обе части урав-

нения (6.15) на b², мы получим уравнение эллипса
^x2 + ^y2 =1. (6.16)
_a2 _b2



−
Для пары противоположных гипербол (рис. 29, б) преобразование, при котором начало координат переходит из вершины одной из гипер- бол в центр, состоит в замене абсциссы x разностью x a. Произведя эту замену в уравнении (5.6), мы получим уравнение

a
y² =2px−2pa+ ^p x² −2px+pa,

т. е.


y² = ^p x² +pa. (6.17)
a

В силу соотношения (6.14) здесь также p/a=b²/a². Разделив обе части уравнения на b², мы получим уравнение пары противоположных гипербол в виде
_x2 _y2
_a2 − _b2 =1. (6.18)
Осями координат в случае уравнений (6.17) и (6.18) являются два сопряженных диавметра эллипса или гиперболы.
Уравнения (6.16) и (6.18) называются центральными уравнени- ями эллипса и пары противоположных гипербол. Осями координат в случае этих уравнений являются два сопряженных диаметра эллипса или противоположных гипербол.
В предложениях I₄₁—I₄₅ Аполлоний доказывает теоремы о ра- венстве площадей, многие из этих равенств равносильны уравнени- ям (6.16) и (6.18) эллипсов и пар противоположных гипербол.
Эйдосы эллипсов и гипербол

·
В конце <Вторых определений> Аполлоний вводит понятия <эйдо- са (eidos) эллипса или гиперболы>. Этим словом Аполлоний называет прямоугольник, стороны которого равны прямой стороне 2p и попереч- ной стороне 2a конического сечения. В силу формулы (1.14) площадь этого прямоугольника равна 2a 2p=4b².
В переводах <Конических сечений> слово <eidos> часто передают словом <фигура>. Кроме геометрического смысла, означающего фигу- ру и форму, который сохранился в термине Евклида <ромбоид> для параллелограмма, не являющегося ромбом, и в терминах Архиме- да <коноид> и <сфероид>, <eidos> имеет также философский смысл. В сочинениях Платона этот термин, часто переводимый словом
<идея>, означает то, что при взаимодействии с <пространством> обра- зует устойчивое явление; применительно к живым существам <eidos> Платона равносилен понятию души. Этому понятию аналогичны <эн- телехия> Аристотеля и <абсолютная идея> Гегеля. Возможно, что Аполлоний вкладывал в понятие <eidos> некий философский смысл.
Симметрии конических сечений
В предложении I₃₀ доказывается, что коническое сечение не может иметь более одного центра. Центр эллипса и пары противоположных гипербол обладает тем свойством, что все диаметры эллипса и все по- перечные диаметры гипербол делятся в нем пополам. Поэтому центр эллипса и пары противоположных гипербол является центром симме- трии этих конических сечений, т. е. эти конические сечения переходят в себя при отражении относительно центра.
В системах координат, в которых эллипсы и гиперболы определя- ются уравнениями (6.16) и (6.18), центры этих конических сечений
совпадают с началом координат, и отражение от центра имеет вид