Аналитическая геометрия координаты Аполлония

GH ₌ GK ·GH −GK² _,

GF
т. е. в силу равенства (6.3)
MK ·KN

GH ₌ GK ·GH −GK² _{. (6.7)}
^GF KL²
Обозначим прямую и поперечную стороны эллипса GF =2p и GH =
=2a и координаты точек эллипса GK =x и KL=y. Поэтому пропорцию (6.7) можно записать в виде
2a ₌ 2ax−x² _,
^2p y²
что равносильно уравнению (5.5) эллипса.
В предложении I₁₃ угол BAC может не быть острым. Поэтому Аполлоний заменил старое название конического сечения (5.5) <сече- ние остроугольного конуса> новым. Поскольку в силу этого уравнения

квадрат ординаты у всякой точки этой кривой равновелик прямоуголь- нику, <приложенному> к отрезку 2p, уменьшенному на отрезок xp/a, и имеющему высоту, равную абсциссе x этой точки, Аполлоний назвал это коническое сечение <недостаток> (elleipsis), откуда произошел тер- мин <эллипс>.
Уравнения (5.4), (5.5) и (5.6) Аполлония также можно записать в единообразной форме (5.12). Величину e, входящую в это уравне- ние и определяемую для эллипса и гиперболы соотношениями (5.10) и (5.11), мы также будем называть эксцентриситетом конического се- чения. Эта величина, как и величины a и p, зависит от того диаметра конического сечения, который принимается за ось абсцисс уравнения этого конического сечения.

Построение конических сечений

Для построения точки параболы с данной абсциссой x Аполлоний рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются прямая сторона параболы GF =2p и абсцисса данной точки GK =

=x (рис. 25, а), и находит сторону y квадрата, равновеликого этому прямоугольнику (рис. 26, а). Величина y равна ординате данной точки параболы.
Для построения точки гиперболы с данной абсциссой x Аполлоний рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются прямая сторона гиперболы GF =2p и абсцисса данной точки GK =
=x, соединяет точки H и F прямой линией и продолжает эту прямую до пересечения с прямой KR в точке S, а затем строит прямоугольник FRST со сторонами FR и RS (рис. 25, б). Из подобия прямоугольных треугольников HGF и FTS с катетами GH =2a, GF =2p и с катетами TS =x, FT вытекает, что FT =px/a. Поэтому площадь прямоуголь- ника FKST равна правой части уравнения (5.6) гиперболы. Далее Аполлоний находит сторону y квадрата, равновеликого прямоуголь- нику GKST (рис. 26, б). Величина x равна ординате данной точки гиперболы.
Для построения точки эллипса с данной абсциссой x Аполлоний рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются прямая сторона эллипса GF =2p и абсцисса данной точки GK =x, соединяет точки H и F прямой линией и находит точку S пересече- ния прямых HF и KR, проводит из точки S прямую ST параллельно линии GK до линии GF (рис. 25, в). Из подобия прямоугольных тре- угольников HGF и FRT с катетами GH =2a, GF =2p и с катетами RF =x и FT вытекает, что FT =px/a. Поэтому площадь прямоуголь- ника FKST равна правой части уравнения (5.5) эллипса. Далее Аполлоний находит сторону y квадрата, равновеликого прямоуголь- нику GKST (рис. 26, в). Величина y равна ординате данной точки эллипса.
c
Рис. 25
1`

Рис. 26

Предложения I₅₂—I₆₀ являются задачами построения конических сечений по некоторым прямолинейным отрезкам, заданным по вели- чине и положению.

Выражение прямой стороны через углы, определяющие коническое сечение

Формулы (6.2) и (6.5) позволяют выразить прямую сторону кони- ческого сечения через углы осевого треугольника ABC конуса и угол GIB между диаметром конического сечения и прямой BC. Обозначим углы при вершинах A, B и C осевого треугольника через 2α, γ и δ, а угол GIB — через β (рис. 27, а—в).

В силу теоремы синусов плоской тригонометрии для треугольника