Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 18. 06-guruh talabasi Soliyeva Robiyaxon Abduxalil qizining

Birinchi chegaraviy masalani yechish.
Biz endi tebranish tenglamasi uchun sohada ushbu birinchi chegaraviy masalani ko’rib chiqamiz. Ya'ni sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funkstiyani topish kerakki, bu sohada u
(10)
tenglamani qanoatlantirib, to’g’ri chiziqda
, (1.32)
dastlabki shartlarni va
, (1.33)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bu masalani to’r metodi bilan yechish uchun ushbu

to’rni kiritamiz va 1.7-rasmdagidek uch qatlamli andaza bo’yicha (1.22) differenstial tenglamani (1.24) dagi ayirmali sxema bilan almashtiramiz, bu yerda va quyidagi qiymatlarni qabul qiladi:
; .
Dastlabki shartlar uchun (1.28) formuladan foydalanamiz. Chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi:


, , .
Bularning hammasini birlashtirib, ayirmali sxemaning quyidagi hisoblash algoritmiga ega bo’lamiz:
, , (1.34)
, , (1.35)
, , . (1.36)
Yuqorida ko’rdikki, bu sxema (1.22), (1.24) chegaraviy masalani aniqlikda approksimatsiya qiladi. Ko’rsatish mumkinki, agar ixtiyoriy uchun va qadamlar quyidagi
(1.37)
shartni qanoatlantirsa, (1.28), (1.31), (1.32) sxema turg’un bo’ladi. Biz buning isbotiga to’xtalib o’tirmaymiz.
Misol. To’r metodi sohada

To’q tenglamasining
,
,
chegaraviy va dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan taqribiy yechimi topilsin.
Echish. Bu yerda va deb olamiz. Keyin , hamda ligini hisobga olib, (1.26) formulani quyidagicha yozamiz:
,
endi operatorning ko’rinishini e'tiborga olsak, hisoblash uchun quyidagi algoritm hosil bo’ladi:
, , ,
,
.
Hisoblashni faqat uchun bajarsa yetarli bo’ladi, chunki yechimning grafigi tekislikka nisbatan simmetrik ravishda joylashgan.