|
Koshi masalasini yechish.
Ma'lumki, Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi: sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi shunday funkstiyani topish kerakki, bu sohada u
(1.22)
differensial tenglamani qanoatlantirib, to’g’ri chiziqda
, (1.23)
dastlabki shartlarni qanoatlantirsin, bunda va berilgan funkstiyalar.
Differenstial tenglamani ayirmali tenglama bilan almashtirish uchun to’rni kiritamiz, bunda
, ,
keyin 1.7-rasmdagidek besh nuqtali andazadan foydalanamiz. Bu andaza asosida qurilgan sxema uch qatlamli sxema deyiladi. Bu andazadan quyidagi ayirmali sxema kelib chiqadi:
(1.24)
Biz bilamizki, bu sxema differenstial tenglamani aniqlikda approksimatsiya qiladi. Chegaraviy shartning ikkinchisini
(1.25)
bilan almashtirsak, u holda approksimatsiya tartibi bo’ladi. Ammo chegaraviy shartni ham anikdikda approksimatsiya qilish mumkin. Haqiqatan ham,
yoyilmadan hamda (1) differensial tenglamadan xosil bo’ladigan
munosabatdan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:
.
Bundan esa
(1.26)
ga ega bo’lamiz. Agar ning analitik ifodasi berilgan bo’lmasa, u holda ni aniqlikda
bilan almashtirish mumkin, natijada
(1.27)
ga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, dastlabki shart, (1.24) va (1.27) dan quyidagilarni hosil qilamiz:
, , (1.28)
, , (1.29)
Bundan ko’ramizki, va qiymatlar (1.28) dan ma'lum. (1.29) dan barcha uchun ketma-ket avval , keyin va hokazolarni topib olamiz.
Parabolik tenglamada sxemaning turg’unligi uchun qadamlar orasida shartning bajarilishi kerakligini ko’rgan edik. Endi giperbolik tenglama uchun qanday shartni bajarish kerakligini tekshiramiz.
Faraz qilaylik, ixtiyoriy va uchun tugunda ning qiymatini (8) formula bilan topish kerak bo’lsin. Buning uchun (8) da deb olib, ko’ramizki, ning qiymati
, , va lar orqali ifodalanadi. Agar bo’lsa, o’z navbatida, , , , larning qiymatlari past qatlamlaragi , , , , , , , , lar orqali ifodalanadi. Bu jarayonni davom ettirib, oxirgi natijada ni va orqali ifodalaymiz. Bu qiymatlarning barchasi teng yonli uchburchak ichida yotadi (1.8-rasm). Bu uchburchakning uchi nuqtada bo’lib, bir tomoni o’qida, qolgan ikki tomoni va dan iborat. Ular o’qi bilan , burchakni tashkil etadi. uchburchak (8) ayirmali sxemaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi.
1.8-rasm
Shunday qilib, ning qiymati nuqtada (1.29) tenglama va hamda kesmalarda yotuvchi va dastlabki qiymatlar orqali aniqlanadi. Matematik fizikadan ma'lumki, yechimning nuqtadagi qiymati (1.22) tenglama hamda nuqtadan o’tuvchi
, . (1.30)
xarakteristikalar to’gri chiziqda ajratadigan kesmadagi shartlar bilan, ya'ni kesmadagi boshlangich shartlar bilan bir qiymatli ravishda aniqdanadi. (1.22) tenglamaning (1.30) xarakteristikalari o’zaro perpendikulyar bo’lib, o’qi bilan va burchaklarini tashkil etadi; uchburchak (1.22) differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi.
Faraz qilaylik, to’rning qadami dan katta bo’lsin (1.8-rasm). Bu holda va bo’lib, ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi ichida yotadi. Shuning uchun ham kesmada beriladigan dastlabki shartlar nuqtada yechimni aniqlash uchun yetarli emas. Agar biz va kesmalarda boshlang’ich shartlarni o’zgartirsak, (1.22), (1.23) masalaning yechimi butun sohada, jumladan, nuqdada o’zgarishi kerak. Ammo ning to’rdagi qiymati nuqtada bunday o’zgarishlarga bo’gliq bo’lmasdan, o’zgarmay qoladi. Demak, bo’lganda (1.28), (1.29) ayirmali masalaning yechimi da (1.22), (1.23) Koshi masalasining yechimiga yaqinlashmaydi; (1.28), (1.29) ayirmali masala (1.22), (1.23) differensial masalani approksimatsiya qilganligi sababli u turg’un bo’la olmaydi, chunki approksimatsiya va turg’unlikdan yaqinlashish kelib chiqishi kerak. Bundan biz shunday xulosaga kelamiz: bo’lganda to’r metodi bilan topilgan taqribiy yechimlar ketma-ketligi da yaqinlashishi uchun shartning bajarilishi zarurdir, ya'ni differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi bilan ustma-ust tushishi yoki uning ichida yotishi kerak. Umumiy holda differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi egri chiziqli uchburchak bo’ladi, ammo bu holda ham differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi ayirmali sxemaning aniqlanganlik uchburchagi ichida yotishi lozim. Bu shartning bajarilishi uchun to’r qadamlari ma'lum munosabatda olinishi, ya'ni to’rning maxsus tanlanishi talab qilinadi. Differensial tenglamaning koeffistiyentlaridan va boshlangich shartlaridan ma'lum silliqlik talab qilinganda taqribiy yechimlar ketma-ketligining Koshi masalasi yechimiga yaqinlashishi uchun yuqoridagi shart yetarli bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
