Amaliy matematika va informatika” kafedrasi “Hisoblash usullari” fanidan kurs ishi

Dikart teoremasi. tenglama koeffitsentlaridan tuzilgan sistemada ishora almashtirishlar soni qancha bo’lsa (sanashda nolga teng koeffitsentlarga e’tibor qilmaymiz), tenglamaning shuncha musbat ildizi mavjud yoki musbat ildizlar soni ishora almashtirishlar sonidan juft songa kamdir.
Faraz qilaylik, tenglama karrali ildizga ega bo’lmasin. Biz orqali hosilani, orqali ni ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, orqali ni ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, va h.k. belgilaymiz va bu jarayonni qoldiqda o’zgarmas son hosil bo’lguncha davom ettiramiz. Natijada Shturm qatori deb ataluvchi , , , ... , funksiyalar ketma ketligiga ega bo’lamiz.
Shturm teoremasi. ko’phadning ildizlaridan farqli va sonlarni olib, ni dan gacha o’zgartirganda uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo’qolsa, ning oraliqda xuddi shunday haqiqiy ildizlari mavjud bo’ladi. Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to’la hal qiladi, lekin Shturm qatorini tuzish bilan bog’liq bo’lgan hisoblashlar ko’p vaqt talab qiladi.
Shturm teoremasining qo’llanishi quyidagichadir. Avval tenglamaning barcha ildizlari yotgan oraliqning chegaralari aniqlanadi. Topilgan oraliq nuqtalar bilan kichik oraliqchalarga bo’linadi. Shturm teoremasi yordamida tenglamaning oraliqdagi ildizlarining soni aniqlanadi. Agar bu oraliqlar ildizlarning soni bittadan ko’p bo’lsa, oraliq ikkiga bo’linadi va har bir oraliq uchun Shturm teoremasi qo’llaniladi. Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki xar bir oraliqchalardagi ildizlar soni bittadan ortmasin. Shuni ham eslatib o’tish kerakki, Shturm qatoridagi funksiyalarni musbat sonlarga ko’paytirish yoki bo’lish mumkin, bundan ishora almashtirishlar soni o’zgarmaydi.