Amaliy matematika va informatika” kafedrasi “Hisoblash usullari” fanidan kurs ishi

1-teorema. Agar uzluksiz funksiya biror oraliqning chetki nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda bu oraliqda tenglamaning hech bo’lmaganda bitta ildizi mavjuddir. Agar, shu bilan birga birinchi tartibli hosila mavjud bo’lib, u o’z ishorasini shu oraliqda saqlasa, u vaqtda bu oraliqda ildiz yagonadir.

1.1-chizma
2-teorema. funksiya oraliqda analitik funksiya bo’lsin. Agar oraliqning chetki nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarini qabul qilsa, u vaqtda tenglamaning va nuqtalar orasida yotadigan ildizlarning soni toqdir.
Agar funksiya oraliqning chetki nuqtalarida bir xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda tenglamalarning ildizlari yo oraliqda yotmaydi yoki ularning soni juftdir (karraligini hisobga olgan holda).
Ko’pincha tenglamaning haqiqiy ildizlarini ajratishga grafik usuli katta yordam beradi. Buning uchun funksiyaning grafigini taqribiy ravishda chizib, bu grafikning o’qi bilan kesishgan nuqtalarining absissalari ildizning taqribiy qiymatlari deb olinadi (1.1-chizma). Agar tenglamaning ildizlari bir-biriga yaqin joylashgan bo’lmasa, u vaqtda bu usul bilan uning ildizlari osongina ajratiladi. Agar ning ko’rinishi murakkab bo’lib, uning grafigini chizish qiyin bo’lsa, u vaqtda grafik usulini boshqacha tarzda qo’llash kerak, ya’ni tenglama unga teng kuchli bo’lgan tenglama

ko’rinishda yozib olinadi. Endi va funksiyalarning grafiklarini chizsak, bu grafiklarning kesishish nuqtalarining absissalari taqribiy ildizlardan iborat bo’ladi.
Misol. Grafik usuli bilan tenglamaning ildizi taqribiy topilsin.
Yechish. Bu tenglamani ko’rinishda yozib olamiz. egri chiziqning va to’g’ri chiziqning grafiklarini chizib 1.2-chizmadan ko’ramizki, ularning kesishish nuqtasining abssissasi ekan.

1.2-chizma
Agar yoki chiziqli funksiya, masalan bo’lsa, u vaqtda tenglamachining ildizlarini ajratish soddalashadi. Faqat va koeffisentlari bilan farq qiladigan bir xil tipdagi bir nechta tenglamalarning ildizlarini ajratish uchun grafik usuli qulaydir. Chunki bu yerda ildizlarni ajratish (ildizlarni taqribiy topish) bitta tayin funksiya grafigi bilan har xil to’g’ri chiziqlar kesishish nuqtalarining abssissalarini topishdan iboratdir. Bu tipga ko’rinishdagi tenglamalar misol bo’la oladi.
Masalan, va tenglamalar ildizlarining taqribiy qiymatlari topilsin. Buni yechish uchun kubik parabolani chizamiz. So’ngra va to’g’ri chiziqlarning parabola bilan kesishish nuqtalarining abssissalarini topamiz. 1.3-chizmada ko’rinib turibdiki, birinchi tenglama fakat bitta haqiqiy ildizga ega bo’lib, ikkinchi tenglama esa uchta ; ; haqiqiy ildizlarga egadir. Agar tenglamaning kompleks ildizlarini topish kerak bo’lsa, deb olib, bu tenglamani ko’rinishda yozib olamiz, bu yerda va haqiqiy va o’zgaruvchilarning haqiqiy funksiyalari. Bu tenglama esa quyidagi ikkita tenglamalar , sistemasiga teng kuchlidir. Endi , egri chiziqlarni chizib, ularning kesishgan nuqtalarini topamiz. Kesishish nuqtalarining absissasi va ordinatalari tenglama yechimlarining mos ravishda haqiqiy va mavhum qismlarini beradi.

1.3-chizma