Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
 
4-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Elastik jism 
 
2. 
Qovushoq suyuqlik 
 
3. 
Guk qonuni 
 
4. 
Nav’e-Stoks qonuni 
 
5. 
Lame tenglamasi 
 
6. 
Nav’e-Stoks tenglamasi 
 
7. 
Izotropiya va anizotropiya 
 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
 
.                  
 
5-ilova 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar)
 

 
 
Adabiyotlar 
2.  Седов  Л.И.  Механика  сплошной  среды.  М.:  «Наука»,  1983  Том  I,  стр.  124-
129. 
3.  Мейз. Дж. Теория и задачи механики сплошной среды.- М.: Мир, 1974 г. 
4.  Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. -    
310 с.  
 
 
 
 
 
 
 
XULOSA 
Muhit  deformatsiyalanish  xususiyatlariga  ko’ra  elastik  jism  va  qovushoq 
suyuqliklarga ajratildi. Ular uchun harakat tenglamalari keltirib chiqarildi.  
Hozirgacha noma’lum bo’lgan kuchlanish tushunchasi kiritildi. 

 
 
9 - MA’RUZA 
TUTASH MUHIT UCHUN ASOSIY TENGLAMA VA 
MUNOSABATLARNING EGRI CHIZIQLI KOORDINATALAR 
SISTEMASIDAGI IFODALARI 
 
1. “Egri chiziqli koordinatalar sistemasida tutash muhit uchun asosiy tenglama va 
munosabatlari” mavzusining texnologik modeli 
 
O’quv soati – 4 soat 
Talabalar soni:  53 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  Ma’ruza (ma’ruzali dars) 
Ma’ruza 
rejasi   
1.  Ortogonal  koordinatalar  sistemasida  Kristoffel  simvollari  va 
ixtiyoriy koordinatalar sistemasida uzviylik tenglamalari. 
2.  Vektor va tenzorlarning fizik komponentalari. 
3.  Silindrik 
va 
sferik 
koordinatalar 
sistemasida 
uzviylik 
tenglamalari. 
4.  Ortogonal koordinatalar sistemasida tezlanish komponentalari. 
5.  Ortogonal koordinatalar sistemasida skalyar funksiyaning vektor-
gradienti komponentalari. 
6.  Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida Eyler tenglamalari. 
7.  Ortoganal koordinatalar sistemasida skalyar  funksiyaning  Laplas 
operatori. 
8.  Silindrik  va  sferik  koordinatalar  sistemasida  deformasiya 
tezliklari komponentalari va Nav'e-Stoks tenglamalari. 
O’quv  mashg’ulotining  maqsadi:  Ortogonal  egri  chiziqli  koordinatalarda  TMMning 
asosiy munosabatlarini o’rganish.  
Pedagogik vazifalar: 
O’quv faoliyati natijalari: 
Ortogonal koordinatalar sistemasida 
Tmning harakat tenglamalari, Guk va 
Nav’e-Stoks qonunlarani o’rganish 
TMM ning asosiy tenglama va 
munosabatlarini yodlaydi, izohlashni 
tushunadi, amaliyotda qo’llashga ko’nikma 
hosil qiladi 
O’qitish vositalari 
O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar, doska 
O’qitish usullari  
Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, texnika-insert 
O’qitish shakllari  
Frontal, kollektiv ish 
O’qitish sharoiti  
Texnik  vositalar  bilan  ta’minlangan,  guruxlarda  ishlash    usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya.    
Monitoring va baholash 
og’zaki savollar, blis-so’rov 
 
2.  «Egri  chiziqli  koordinatalar  sistemasida  tutash  muhit  uchun  asosiy  tenglama  va 
munosabatlari» mavzusining texnologik xaritasi 
 
Ish bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tinglovchi 
faoliyatining mazmuni 

 
 
1-bosqich. 
Mavzuga  
kirish  
(20 min) 
1.33. O’quv  mashg’uloti  mavzusi,    rejasi, 
pedagogning  vazifasi  va  talabaning  o’quv 
faoliyati natijalarini aytadi. 
1.34. Baxolash mezonlari  (1 – ilova). 
1.35. Mavzuni  jonlashtirish  uchun  «Blis-
so’rov»  savollarini    beradi.    Blis-so’rov 
usulida  natijasiga  ko’ra  tinglovchilarning 
nimalarda  adashishlari,  xato  qilishlari 
mumkinligining  tashxizini  amalga  oshiradi 
(2-ilova). 
1.36. Texnika-insert 
usulida 
mavzu 
bo’yicha  ma’lum  bo’lgan  tushunchalarni  
faollashtiradi.  (3-ilova ). 
 
Tinglaydilar.  
Yozib oladilar. 
 
 
Tinglaydilar. 
Yozib oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, 
savollar beradilar. 
 
2 -bosqich. 
Asosiy 
bo’lim 
(50 min) 
2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 
2.2.Ma’ruza  rejasining  hamma  savollar 
bo’yicha   tushuncha beradi. (4 - ilova). 
2.2. Ma’ruzada berilgan  savollar  yuzasidan 
umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 - ilova). 
2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.  
2.5.  Talabalar  ishtirokida  ular  yana  bir  bor 
takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
Javob beradilar 
Yozadilar. 
O’UMga qaraydilar 
Har bir tayanch 
tushuncha va iboralarni 
muhokama qiladilar. 
 
3-bosqich.  
Yakunlovch
i 
(10 min) 
3.9.  Mashg’ulot 
bo’yicha 
yakunlovchi 
xulosalar  qiladi.  Mavzu  bo’yicha  olingan 
bilimlarni  qayerda  ishlatish  mumkinligi 
ma’lum qiladi. 
3.2. 
Mavzu 
bo’yicha 
bilimlarni 
chuqurlashtirish 
uchun 
adabiyotlar 
ro’yxatini beradi. 
3.3.  Keyingi  mazvu  bo’yicha  tayyorlanib 
kelish uchun savollar beradi. 
 
Savollar beradilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
Uy vazifalarini yozib 
oladilar 

 
MA'RUZA 
EGRI CHIZIQLI KOORDINATALAR SISTEMASIDA TUTASH MUHIT UCHUN 
ASOSIY TENGLAMA VA MUNOSABATLARI 
Reja: 
1.  Ortogonal  koordinatalar  sistemasida  Kristoffel  simvollari  va  ixtiyoriy 
koordinatalar sistemasida uzviylik tenglamalari. 
2.  Vektor va tenzorlarning fizik komponentalari. 
3.  Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida uzviylik tenglamalari. 
4.  Ortogonal koordinatalar sistemasida tezlanish komponentalari. 
5.  Ortogonal  koordinatalar  sistemasida  skalyar  funksiyaning  vektor-gradienti 
komponentalari. 
6.  Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida Eyler tenglamalari. 
7.  Ortoganal koordinatalar sistemasida skalyar funksiyaning Laplas operatori. 
8.  Silindrik 
va 
sferik 
koordinatalar 
sistemasida 
deformasiya 
tezliklari 
komponentalari va Nav'e-Stoks tenglamalari. 
 
Tayanch iboralar: Ortogonal va ixtiyoriy koordinatalar sistemasi, tenzor, Kristoffel 
simvollari,  birgalik  tenglamalari,  tezlik,  tezlanish,  skalyar  funksiya,  silindrik  va  sferik 
koordinatalar,  deformasiya  tezliklar,  aksial  vektor,  metrik  tenzor,  Evklid  fazosi, 
gradient, divergensiya 
1-ilova 
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javoni to’ldirishiga         - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
 
 
 
 
Mavzuni jonlantirish uchun blits so’rov savollari 
 
1.  Silindrik va sferik koordinatalar sistemasini tushuntiring? 
2.  Dekart, Silindrik va sferik koordinatalar orasidagi 
bog’lanishni bilasizmi? 
3.  Ortogonal egri chiziqli koordinatalarda harakat 
tenglamalari qanday bo’ladi? 

 
3-ilova 
 
1. Ortogonal koordinatalar sistemasida Kristoffel simvollari 
 va ixtiyoriy koordinatalar sistemasida uzviylik tenglamalari 
 
 
Ixtiyoriy  orthogonal  k0oordinatalar  sistemasida 


Г
  Kristoffel  simvollarini 
ij
g
 
metrik  tenzor  komponentalari  orqali  ifodalovchi  formulalarni  yozib  olamiz.  Evklid  va 
Riman fazodarida Kristoffel simvollari quyidagicha aniqlanadi: 
 











s
s
s
js
j
дx
дg
дx
дg
дx
дg
g
Г






2
1
.   
                           (9.1) 
Bu yerdan ortogonal koordinatalar sistemasida 
)
,
0
(
i
j
i
g
ij


 da  
  














,
2
1
,
,
2
1
,
2
1

















дx
дg
g
Г
дx
дg
g
Г
дx
дg
g
Г
 (

 bo’yicha yig’indi yo’q)     (9.4) 
,
0



Г
 agar 









,
,
 bo’lsa. 
 
   (9.5) 
(9.2)  ga  ko’ra 




Г
  yig’indilar  uchun  ortogonal  koordinatalar  sistemasida  quyidagi 
formulalarni hosil qilish mumkin: 
 
,
1
2
1




дx
g
д
g
дx
дg
g
Г




 
 
(9.6) 
bu yerda 
ij
g
g 
 matrisaning determinanti. 
 
Ixtiyoriy  koordinatalar  sistemasida  (9.6)  formulalarning  isbotini  keltiramiz. 
Quyidagiga egamiz: 
j
i
ij
э
э
g
g





 va 




э
Г
дx
э
д
R
k



. 

дx
дg
 hosilani tuzish  uchun 
g
 determinantning  har bir elementida 
i
э

 va 
j
э

 vektorlarning 
skalyar ko’paytmasini differensiallash kerak. 
 
Birinchi  faktor 
i
э

  ni  differensiallashda  uchta  determinat  hosil  qilamiz,  bu 
determinatlarning  har  birida  bitta  i  –  chi  nomerli  satr 
j
i
g
Г



  ko’rinishdagi  had  bilan 
almashtirilgan.  Osongina  ko’rish  mumkinki,  bu  determinantlarning  har  biri 
i
g
i
Г

  ga  teng, 
bu  yerda  i  –  mos  satr  nomeriga  teng  fiksirlangan  indeks.  (Fiksirlangan 
i


  larda 
determinant  0  ga  teng).  Uchta  determinant  yig’indisi 


3
1
i
i
g
Г

  ga  teng. 
ij
g
  ning 
simmetriyaligidan ayonki,  ikkinchi  faktor   
j
э

  larni differensiallashda  ham  xuddi shunday 
yig’indi hosil bo’ladi. Bu yerdan  
i
i
gГ
дx
дg


2

 
bo’ladi, bu formulalarda i – indeks bo’yicha yig’indi olinadi. 

 
 
Ixtiyoriy  koordinatalar  sistemasida  ixtiyoriy  vektor  divergensiyasi  uchun  ifodani 
quyidagicha yozish mumkin: 
 
.
1













дx
g
дv
g
дx
g
д
g
v
дx
дv
Г
v
дx
дv
v
v
div











 
 
 
(9.7) 
 
Ixtiyoriy  koordinatalar sistemasida uzviylik tenglamalari quyidagi ko’rinishni oladi: 
 
0
3
3
2
2
1
1




дx
g
v
д
дx
g
v
д
дx
g
v
д
дt
д
g




.   
(9.8) 
Eslatib o’tamiz, 

v
 lar 
v

 vektorning 

э

 kovariant bazis vektorlari (ular, umuman olganda, 
birlik vektori emas) bo’ylab yoygandagi komponentalaridan iborat. 
 
2. Vektor va tenzorning fizik komponentalari 
 
Tezlik vektori 
v

 uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin: 
 
,
33
3
3
22
2
2
11
1
1
g
э
u
g
э
u
g
э
u
э
v
v
i
i









 
 
                  (9.9) 
bu yerda  
ii
i
i
g
э
e



 
lar birlik vektorlar. Agar koordinatalar sistemasi ortogonal bo’lsa, u holda 
ii
i
i
g
v
u 
 
(i  bo’yicha  yig’indi  yo’q)  komponentalar 
v

  tezlikning  koordinata  chiziqlarining 
urunmalariga proeksiyalariga teng va ular tezlik vektorining fizik komponentalari deyiladi. 
Ortogonal koordinatalar sistemasida  
ii
i
i
g
v
u 
 (i bo’yicha yig’indi yo’q) 
 miqdorlar  kiritilgan 
i
u
  fizik  komponentalar  bilan  mos  tushadi.  Xuddi  shunday  ixtiyoriy 
vektorning  fizik  komponentalarini  kiritish  mumkin,  masalan 
a

  tezlanish  yoki  grad  p  va 
umuman ixtiyoriy rangdagi tenzor uchun kiritish mumkin. Fizik komponentalar yordamida 
(9.8)  uzviylik  tenglamalari  ixtiyoriy  ortogonal  koordinatalar  sistemasida  quyidagi 
ko’rinishni oladi: 
0
3
3
22
11
2
2
33
11
1
1
33
22




дx
u
g
g
д
дx
u
g
g
д
дx
u
g
g
д
дt
д
g




.   (9.10) 
 
3. Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida 
 uzviylik tenglamalari 
 
 
Silindrik koordinatalar sistemasi holida  
,
,
,
,
2
2
2
2
2
3
2
1
dz
d
r
dr
ds
z
x
x
r
x








 
 
,
1
,
,
1
3
2
1



э
r
э
э



    
ya’ni 
 
0
,
1
,
,
1
33
2
22
11




ij
g
g
r
g
g
 agarda 
.
j
i 
 
Silindrik koordinatalar sistemasida uzviylik tenglamalari quyidagicha yoziladi: 

 
0




дz
u
д
r
д
u
д
дr
r
u
д
дt
д
r
z
r






. 
 
Sferik 
koordinatalar 
sistemasida 



2
1
,
x
r
x
 
(qutb 
burchak), 





2
3
33
2
22
11
2
2
2
2
2
2
2
3
sin
,
,
1
,
sin
,
r
g
r
g
g
d
r
d
r
dr
ds
x








 
va 
uzviylik 
tenglamalari 
quyidagi ko’rinishda bo’ladi 
.
0
sin
sin
sin
2
2















д
u
д
r
д
u
д
r
дr
r
u
д
дt
д
r
r
 
 
4. Ortogonal koordinatalar sistemasida tezlanish komponentalari 
 
 
Inersial  ortogonal  egri  chiziqli  koordinatalar  sistemasida  Eyler  harakat 
tenglamalarini  yozish  uchun 
j
a
  tezlanish  komponentalarini 
ij
g
  va 
i
v
  orqali  ifodalovchi 
formulalarni hosil qilamiz. 
dt
dv
 tezlanish komponentasi uchun quyidagiga ega bo’lamiz: 
.
j
i
i
i
j
i
j
j
i
i
j
j
Г
v
v
дx
дv
v
дt
дv
v
v
дt
дv
a








 
Bu formulaning oxirgi hadini (9.5) ni hisobga olib o’zgartiramiz 
.
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
2
j
j
jj
j
j
j
j
j
j
j
j
j
i
i
Г
v
Г
v
Г
v
v
Г
v
Г
v
v
Г
v
v















 
j


 
 
 
 
j


 
(j bo’yicha yig’indi yo’q) 
 
  (j bo’yicha yig’indi yo’q) 
Ortogonal  koordinatalar  sistemasida 
ii
ii
g
g
1

  va  shuning  uchun  (3.2)-  (3.4)  formulalar 
yordamida 
j
jj
j
jj
jj
j
jj
jj
j
i
i
j
j
j
дx
дg
g
v
дx
дg
g
v
дx
дg
g
v
v
v
дx
дv
дt
дv
a













2
)
(
)
(
2
1
2
2
   (9.11) 
ni  hosil  qilamiz.  Bu  yerdan  silindrik  koordinatalar  sistemasida  agarda  (9.9)  bo’yicha 
i
v
 
o’rniga tezlikning fizik komponentalari 
i
u
 larni kiritsak tezlanishning fizik komponentalari 
quyidagi ko’rishga ega bo’ladi: 
,
,
2
r
u
u
дz
дu
u
д
дu
r
u
дr
дu
u
дt
дu
a
r
u
дz
дu
u
д
дu
r
u
дr
дu
u
дt
дu
a
r
z
r
r
z
r
r
r
r
r























 
   
;
дz
дu
u
д
дu
r
u
дr
дu
u
дt
дu
a
z
z
z
z
r
z
z







         
(9.12) 
sferik koordinatalar sistemasida tezlanishning fizik komponentalari quyidagicha yoziladi: 
.
sin
,
sin
,
sin
2
2
2
r
u
u
ctg
u
u
д
дu
r
u
д
дu
r
u
дr
дu
u
дt
дu
a
r
ctg
u
u
u
д
дu
r
u
д
дu
r
u
дr
дu
u
дt
дu
a
r
u
u
д
дu
r
u
д
дu
r
u
дr
дu
u
дt
дu
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r




























































              (9.13)