Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

1.  Moddiy nuqta va nuqtalar sistemasi uchun harakat miqdori momentlari 
tenglamasi 
 
Yuqorida  takidlaganimizdek,  hosil  qilingan  tutash  muhit  harakatining  universal 
tenglamalari sistemasi to'liq emas. Harakatlanuvchi muhitning hususiy xossalariga bog'liq 
bo'lmagan  boshqa  universial  tenglamalarni  ham  hosil  qilish  mumkin.  Shu  maqsadda 
mexanikaning  umumiy  tenglamalaridan  biri  bo'lgan  harakat  miqdori  momentlari 
tenglamalarini ko'rib chiqamiz. 
Ushbu 
F
dt
v
d
m



 
tenglamani  chap  tomondan  qaralayotgan  m  massali  Moddiy  nuqtaning  biror  bir  inersial 
koordinatalar  sistemasining  boshi  0  nuqtaga  nisbatan  r  -  radius  vektorga  vektorli 
ko'paytirib, nuqta uchun harakat miqdori momenti tenglamalarini hosil qilamiz: 
 
,
M
dt
K
d


 
         
                                (5.1) 
bu erda 
v
m
r
K





    va 
F
r
M





 
Mavzuni jonlantirish uchun blits so’rov savollari 
 
 
22. Harakat miqdori momenti deganda nimani tushunasiz? 
23. Moddiy nuqta va sistema uchun harakat miqdori momenti 
tenglamasi qanday bo’ladi? 
24. Tutash muhit uchunchi? 
 

 
lar mos ravishda moddiy nuqta harakati miqdori momenti va 0 nuqtaga nisbatan unga ta'sir 
qiluvchi 
F

 - yig'indi kuchning momenti. Shunday qilib, bitta moddiy nuqta uchun harakat 
miqdori momentlari tenglamalari N'yuton 2- qonunning trivial natijasidir. 
 
Agarda  biz 
i
v

  tezlik  bilan  harakatlanuvchi 
i
m
  massali 
n
  ta  moddiy  nuqtalar 
sistemasiga ega bo'lsak, u holda ularning har biri uchun (5.1) harakat miqdori momentlari 
tenglamalarini yozishimiz mumkin: 


,
i
i
i
i
i
F
r
v
m
r
dt
d







 
bu erda 
i
i
m
F 

 massali qaralayotgan nuqtaga ta'sir qiluvchi barcha (shu bilan birga butun 
sistemaga  nisbatan  ichki  bo'lgan)  kuchlarning  bosh  vektori.  Bu  tengliklarni  sistemaning 
barcha n ta nuqtasi uchun qo'shib va sistema harakat miqdori momentini 






n
i
i
i
i
v
m
r
K
1



 
ko'rinishda  aniqlab,  sistema  nuqtalari  uchun  harakat  miqdori  momentlari  tenglamalarini 
hosil qilamiz 






n
i
e
i
i
F
r
dt
K
d
1
)
(



, 
bu  yerda  o'ng  tomonda  N'yutonning  3  -  qonuniga  ko'ra  kuchlar  ning  butun  sistemasiga 
nisbatan faqat tashqi momentlar yig'indisi turadi (5.1- rasm). Biror bir 0  nuqtaga nisbatan 
nuqtalar sistemasining harakat miqdori momentidan vaqt bo'yicha olingan hosilasi, o'sha 0  
nuqtaga nisbatan sistemaga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuch momentlarining yig'indisiga 
teng. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Moddiy  nuqtalar  sistemasi  harakat  miqdori  momentini  quyidagi  ko'rinishda  yozish 
mumkin 







n
i
nisb
i
i
nisb
i
v
m
r
v
m
r
K
1
,
*
*





 
bu  yerda 




n
i
i
r
m
m
1
*
,

  sistema  massalar  markazi  radius  vektori, 

*
v

  massalar  markazi 
tezligi, 
i
r
-  massalar  markaziga  nisbatan  i  -  nuqtaning  radius  -  vektori, 
i
v

-  massalar 
markazi  bilan  ilgarilanma  harakat  qilayotgan  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  i  - 
nuqtaning tezligi. 
 
F
21
 
F
12 
m
2 
m
1 
O 
r
2 
r
1 
h
 
5.1-rasm 

 
2. Chekli hajmdagi tutash muhit harakati miqdori momenti 
 
V    hajmdagi  tutash  muhitning  harakat  miqdori  momenti  deb  odatda  quyidagi 
vektorni aytishadi 
 
 



V
d
v
r
K
,





   
 
 
(5.2) 
bu  yerda 
r

  -  biror  bir  qo'zg'almas  0  nuqtaga  nisbatan  tutash  muhit  nuqtalarining  radius  - 
vektorlari, 
v

 esa ularning tezliklari. 
 
Faraz qilaylik biz tutash muhitning m massali biror bir 

 hajmiga ega bo'laylik. Bu 
hajmning ixtiyoriy M  nuqtasining 
v

 - tezligini (5.2 - rasm) 
nisb
v
v
v





*
 
ko'rinishda tasvirlash mumkin, bu yerda 


*
v

 hajm massalar markazi 0* ning tezligi, 
nisb
v

- 
qaralaiayotgan nuqtaning massalar 
 markaziga nisbatan tezligi. U holda biror bir 0 nuqtaga    nisbatan  

 hajm harakat miqdori momenti hajm massalar markazi bilan mos tushuvchi m – massali 
moddiy  nuqtaning  0  nuqtaga  nisbatan  harakat  miqdori      momentiga          hamda        0* 
massalar     markaziga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 nisbatan   

  hajmdagi  barcha  M  nuqtalar  harakat  miqdori  momentlari  yig'indisiga  teng, 
ya'ni 
,
*








d
v
r
Q
r
K
nisb
nisb



 
bu yerda  
*
v
m
Q




 
massalar  markazi  bilan  mos  tushuvchi        m  -massali  Moddiy  nuqta  harakat  miqdori. 
Yuqoridagi munosabatni quyidagicha yozib olamiz 






V
nisb
nisb
d
v
r
K
K
Q
r
K




*
*,
*
. 
 
Endi cheksiz kichik 

d
 hajmni qaraymiz. Ko'p hollarda cheksiz kichik hajm uchun 
Q
r



*
  miqdorga  nisbatan 
*
K

  -  harakat  miqdori  momentini  hisobga  olmaslik  mumkin. 
Masalan, 

d
  ni  0*  markazdan  o'tuvchi  o'z  o'qi  atrofida 


  -  burchak  tezligi  bilan 
aylanuvchi R  - radiusli bir jinsli sfera sifatida olsak, u holda  
,
*
2





m
I
K


 
O 
z 
y 

O
M 

r
r
i 
τ 
r
oтн 
5.2-rasm 

 
bu  yerda  I  -  inersiya  momenti, 

  -  bu  sferaning  o'z  aylanish  o'qiga  nisbatan  inersiya 
radiusi.  Ko'rinib  turubdiki, 

m
  miqdor  R
5
  tartibga  ega, 
Q
r 
*
  esa  R
3
  tartibga  ega  hamda 
agarda 

-  chekli  bo'lsa, 
*
v
  miqdor 
Q
r 
*
  ga  nisbatan  kichik,  V  hajmdagi  tutash  muhit 
harakat miqdori momenti 
K

 ning limitik holati esa 


V
d
v
r




 
ko’rinishda bo'ladi. 
 
Lekin,  agarda 

  -  burchak  tezligi  shunchalik  katta  bo'lsaki, 


2
  miqdor  chekli 
bo'lsa, u holda 
*
K

 va   
Q
r



*
 miqdorlar bir xil R
3
 tartibga ega va V hajmdagi tutash muhit 
harakat miqdori momenti quyidagiga teng bo'ladi 
 





V
V
d
k
d
v
r
K
,








  
 
                              (5.3) 
bu  yerda  k  orqali  harakat  miqdorining  ichki  (yoki  xos)  momentlarining  zichligi 
belgilangan. 
 
3. Harakat miqdorining momentlari 
 
O'rganilayotgan  masalani  fisik  mikroskopik  nuqtai  nazardan  qaraymiz.  Yadro  va 
uning  atrofida  aylanuvchi  elektrondan  iborat  sistemani,  ya'ni  atomni  qaraymiz.  Elektron 
o'z  orbitasi  bo'ylab  yorug'lik  tezligi  tartibidagi  tezlik  bilan  aylanadi,  shuning  uchun 
atomning  kichik  o'lchamiga  qaramasdan,  yadro-elektron  sistemasi  anchagina  harakat 
miqdorining  xos  momentiga  ega.  Elektronning  orbita  bo'ylab  aylanish  hisobiga  hosil 
bo'layotgan harakat miqdori momenti, harakat miqdorining orbital momenti deyiladi. 
 
Shunday qilib, barcha atomlar k ga teng harakat miqdori xos momentiga ega. Lekin 
bu  harakat  miqdori  momentlari  yig'indisi  barcha  atomlar  uchun  ko'p  hollarda  ularning 
xaotik  harakati  tufayli  nolga  teng.  Ammo  elementar  zarrachalar  harakatini,  masalan 
maqnit  maydonini qo'yib tartiblash  mumkin  va bu  holda barcha atomlar  ichki  momentlar 
yiq'indisi  noldan  farqli  bo'ladi.  Tutash  muhit  makroskopik    zarracha  harakat  miqdori 
momenti ifodasiga, umuman, 


V
d
k
K




'
 
harakat miqdori xos momentlari yig'indisi kiradi. 
 
Shunday  qilib,  agar  masalan  biz  tutash  muhit  mexanikasida  real  muhitlarning 
elektromagnit maydonda harakatini ifodalamoqchi bo'lsak, u holda biz 
k

 xos momentlarni 
kiritishimiz kerak va bu larni hisobga olib, V hajmdagi tutash muhit harakati momentlarini 
(5.3) bo'yicha aniq qlashimiz kerak. 
 
Tutash  muhit  mexanikasida  harakat  miqdori  xos  momentlari  faqat  oxirgi  vaqtlarda 
qaralmoqda,  sababi  hozirgi  zamon  texnikasining  rivojlanib  borishi  bilan  tutash  muhit 
mexanikasi masalalari ancha kengaygan. Tutash muhitning klassik masalalarida 
k

 - ichki 
momentlar  hisobga  olinmaydilar  va  V    hajmdagi  tutash  muhitning  harakat  miqdori 
momenti 


V
d
v
r



 
ko'rinishda aniqlanadi. 
 

 
4. Taqsimlangan massaviy va sirt juftlari 
 
Ichki  moment 
K

 larni qaraganda biz  taqsimlangan  massaviy  va sirt juftlari  mavjud 
deb faraz qilishimiz kerak. 
 
Tutash  muhitning  har bir zarrachasiga taqsimlangan  massaviy  va sirt  kuchlari  ta'sir 
qiladi.  Ammo  shunday  bo'lishi  mumkinki,  tashqi  Moddiy  ob'ektlarning  tutash  muhit 
zarrachasiga  ta'sirini  faqat  bu  kuchlar  bilan  almashtirib  bo'lmaydi,  bundan  tashqari 
massaviy va sirt juftlari kiritish kerak bo'ladi. 
 
n
Q

 va 
h

 orqali sirt va massa birligiga nisbatan mos ravishda sirt va massaviy juftlar 
momentini  belgilaymiz.  Taqsimlangan  massaviy  juftlarga  misol  bo'lib,  yer  magnit 
maydonida  joylashgan  kompas  strelkasining  har  bir  elementiga  ta'sir  qiluvchi  juftlarni 
qarash mumkin. 
 
5. Chekli hajmdagi tutash muhit uchun harakat miqdori 
momentlari tenglamasi 
 
Bitta  Moddiy  nuqta  va  nuqtalar  sistemasi  uchun  harakat  miqdori  momentlari 
tenglamalarini  chekli  individual  V  hajmdagi, 

  sirt  bilan  chegalangan  tutash  muhit 
harakati miqdori tenglamalari uchun umumlashtiramiz 
.


































d
Q
d
h
d
p
r
d
F
r
d
k
d
v
r
dt
d
n
V
n
V
V
V






           (5.4) 
Ixtiyoriy V  individual hajmdagi tutash muhitning harakat miqdori momentidan vaqt 
bo'yicha  hosilasi  bu  hajmga  ta'sir  qiluvchi  tashqi  massaviy  va  sirt  kuchlari  momentlari 
yig'indisiga  va  hajmga  nisbatan  tashqi  ob'ektlar  ta'sirida  paydo  bo'lgan  taqsimlangan 
massaviy va sirt juftlar momentlarining yig'indisiga teng. 
Harakat miqdorining momentlari tenglamalari, harakat miqdori tenglamalari kabi  V 
hajmdagi tutash  muhit  uchun  huddi bitta Moddiy nuqta  uchun N'yutonning 
a
m
F



 qonuni 
bajarilgani  kabi  bajariladi.  Shuni  aytishimiz  kerakki,  ixtiyoriy  individual  V  hajmdagi 
tutash  muhitning  harakat  miqdori  momentlari  tenglamalari  Moddiy  nuqtalar  sistemasi 
mexanikasining  harakat  miqdori  momentlari  tenglamalaridan  kelib  chiqmaydi.  Bu 
tenglama alohida tenglama hisoblanadi. Bu tenglama ixtiyoriy tutash  muhitlar uchun ham 
uzliksiz, ham  xarakteristikali, vaqt  va  fazo nuqtalari koordinatalari bo'yicha  uzilishga ega 
bo'lgan ixtiyoriy  harakatlarda qo'llash mumkin.   
6. Klassik holda harakat miqdori momentlari tenglamalari 
 
 
Klassik  holda  ichki  harakat  miqdori  momentlari  qatnashmaganda  hamda 
taqsimlangan  massaviy  va  sirt  juftlari  qatnashmaganda  harakat  miqdori  momentlari 
tenglamalari quyidagi ko'rinishga keladi 









V
V
n
d
p
r
d
F
r
d
v
r
dt
d
.












   
(5.5)    
 
Inersial  koordinatalar  sistemasiga  bog'liq  biror  bir  0  nuqtaga  nisbatan  tutash 
muhitning  individual  V  hajmi  harakat  miqdori  momentidan  vaqt  bo'yicha  olingan  o'sha 
nuqtaga nisbatan bu hajmga ta'sir qiluvchi tashqi massaviy va sirt kuchlari momentlarining 
yig'indisiga teng. 
 
Agarda bu jismga tashqi kuchlar ta'sir qilmasa, u holda 

 
0

dt
k
d

 
bo'ladi va harakat miqdori momenti
k

 o'zgarmas bo’ladi. 
 
 
7. Giromagnit effekt va harakat momentlari tenglamalari 
 
 
Endi  biz  harakat  miqdorining  ichki  momentlari  va  taqsimlandan  massaviy  juftlarni 
hisobga  olish  kerakligini  ko'rsatayot  tajriba  o'tkazamiz.  Agarda  magnit  maydonda  temir 
sterjenni joylashtirsak, u holda u magnitlanadi va ko'rsatish mumkinki, 
k

 ichki momentlar 
yig'indisi noldan farqli bo'ladi. 
 
Haqiqatan, faraz qilaylik bu sterjen bo'shliqda maqnit maydon ta'sirida erkin holatda 
joylashgan  bo'lsin.  Magnit  maydonni  olib  tashlaymiz.  U  holda  xaotik  harakat  tufayli 
sterjenda  biror  vaqt  o'tgach 
k

  -  ichki  momentlarning  taqsimlanishi  tartibsiz  bo'lib  qoladi 
va shuning uchun harakat miqdori ichki momentlar yig'indisi nolga teng bo'ladi. 
 
Shu bilan birga sterjenga hech qanday tashqi obektlar ta'sir qilmagani uchun harakat 
miqdorining to'liq momenti saqlanib qolishi kerak. Shuning uchun sterjenning to'laligicha 
aylanishi  hisobiga  harakat  miqdori  momenti  paydo  bo'lishi  kerak  va  sterjen  aylanishi 
kerak. 
 
Tajriba  shuni  ko'rsatadiki,  magnit  maydonini  olib  tashlagandan  keyin  sterjen 
haqiqatan aylanib boshlaydi. Bunday hodisani giromagnit effekt deb ataymiz. Bu hodisani 
harakat  miqdori  ichki  momenti  va  taqsimlangan  massaviy  juftlarni  hisobga  olmasdan 
tushintirib bo'lmaydi. 
 
8. Differensial formada harakat miqdori momentlari tenglamalari 
Tutash  muhitning  uzluksiz  harakatida  (3.4)  tenglik  va  Gauss-Ostrogradsikiy 
teoremasidan foydalanib, tashqi sirt kuchlari momentlari yig'indisi uchun V hajm bo'yicha 
olingan integral ko'rinishidagi ifodani hosil qilish mumkin:  











V
i
i
i
i
n
d
p
r
d
n
p
r
d
p
r



)
(
)
(






 
Xuddi 
n
p

  ichki  kuchlanishlar  kabi  taqsimlangan  sirt  juftlari  momentlari 
n
Q

  ni  quyidagi 
ko'rinishda tasvirlash mumkin 
i
i
n
n
Q
Q



. 
 
U holda Gauss - Ostrogradskiy teoremasiga ko'ra  








V
i
i
i
i
n
d
Q
d
n
Q
d
Q






 
quyidagi almashtirishdan foydalanamiz 
,
)
(
)
(




















V
ki
k
i
i
V
i
i
V
i
i
V
i
i
V
i
i
d
p
э
э
d
p
r
d
p
r
d
p
r
d
p
r
















 
chunki 
i
i
i
э
дx
r
д
r






. 
 
Endi 

d
dm 
  massani  o'zgarmas  deb  (5.4)  harakat  miqdori  momenti  haqidagi 
teoremani  

 




























V
V
V
ki
n
i
i
i
V
V
i
i
d
p
э
э
d
Q
d
h
d
dt
k
d
d
p
F
dt
v
d
r









)
(
1









 
ko'rinishda  yozish  mumkin,  yoki  (4.6)  harakat  miqdori  tenglamalariga  ko'ra  quyidagi 
ko'rinishda  









V
V
ki
n
i
V
i
i
V
d
p
э
э
d
Q
d
h
d
dt
k
d






)
(





 
yozish  mumkin.  Bu  yerdan  tutash  muhit  hajmi  V  -  ixtiyoriyligidan  tutash  muhitning 
uzluksiz  harakatida  differensial  shaklda  harakat  miqdori  momentlari  tenglamalarini  hosil 
qilamiz: 
 
ki
k
i
i
i
p
э
э
Q
h
dt
k
d
)
(












. 
 
(5.6) 
 
Klassik  hol  uchun  (5.6)  tenglamalar  (ichki  momentlar  hamda  taqsimlangan  sirt  va 
massaviy taqsimlangan juftlar mavjud bo'lmagan holda) quyudagi 
 
 
0
)
(


ki
k
i
p
э
э


 
 
 
(5.7) 
ko'rinishga ega. 
 
 
9. Klassik holda kuchlanish tenzorining simmetriyaligi 
 
(5.7) momentlar tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin: 
0
)
(
)
(







ki
i
k
k
i
i
k
ki
k
i
p
э
э
p
э
э




 
Oxirgi yig'indida yig'indi indekslari k ni i ga, i ni k ga almashtiramiz va  
0
)
(
)
(







ik
i
k
k
i
i
k
ki
k
i
p
э
э
p
э
э




 
bo'ladi yoki vektorli ko'paytma xossasiga ko'ra  
0
)
(
)
(




ik
ki
i
k
k
i
p
p
э
э


. 
Bu yerdan 
),
(
i
k
p
p
ik
ki


 ya'ni 
.
,
,
32
23
12
21
22
31
13
p
p
p
p
p
p
p




 
Shunday qilib, klassik holatda momentlar tenglamalari kuchlanish tenzori simmetrik 
degan  natijaga  olib  kelar  ekan.  Agarda  kuchlanish  tenzori  simmetrik  bo'lsa,  (5.7)  harakat 
miqdori tenglamalari aynan bajariladi. 
 
4-ilova