Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
                                                                        (1) 
Siqilmas suyuqlik uchun uzviylik tenglamasi 
  yoki  
                                                          (2) 
1  -  Masala.  Berilgan  tezliklar  maydoni  siqilmaydigan  suyuqlik  uchun  uzviylik  tenglamasini 
qanoatlantirishini ko’rsating.  
,  
, A=const. 
Yechish.  Bizga  ma’lumki,  siqilmaydigan  suyuqlik  uchun  uzviylik  tenglamasi  (2)  ko’rinishda 
bo’ladi. Shunga asosan biz qarayotgan holda  
 
Bundan  esa     
.  Demak  Berilgan  tezliklar  maydoni  uchun  uzviylik  tenglamasi 
qanoatlantirilar ekan.  
2 - Masala.   
   tezliklar maydoni uchun 
3
2
1
0
3
2
1






x
x
x
 shart bajarilishini 
ko’rsating. 
Yechish.    Bu  holda 


t
v
k
k


1
/
3
,
  bo’ladi.  Hosil  bo’lgan  ifodani  (1)  uzviylik  tenglamsiga  olib 
borib qo’yamiz va uni integrallaymiz 


C
t
ln
1
ln
ln
3





 
bu yerda C – integrallash o’zgarmasi.  
Agar   
0

t
 da  
0

 
  ekanligini hisobga olsak 


3
0
1
/
t




.
 
Shundan so’ng tezlik ifodasi 


t
dt
x
dx
i
i


1
 ni integrallab topamiz 


t
x
i
i


1
/

. 
Bundan    
3
2
1
0
3
2
1






x
x
x
. 
  
TOPSHIRIQLAR 
Darsda 6.13,6.14,6.18 [2],  
Uyga vazifa 6.16, 6.19,8.15 [2] 
 
Adaboyotlar 
1.  Седов Л.И. Механика сплошной среды. -  М.: Наука, 1973 г. В 2-х томах. 
2.  «Механика сплошной среды в примерах и задачах». Учебное пособие. У.Г.У. Свердловск, 
1979 г. 
3.  Мейз. Дж. Теория и задачи механики сплошной среды.- М.: Мир, 1974 г. 
4.  Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. -    310 с.  
5.  Механика сплошных сред в задачах. В двух томах. М.: «Московский лицей», 1996. Под ред. 
М.Э. Эглит.  
 

 
 
2- AMALIYOT 
DARSI 
ORTOGONAL EGRI CHIZIQLI KOORDINATALARDA UZVIYLIK 
TENGLAMASI 
 
Ortogonal egri chiziqli koordinatalarda uzviylik tenglamasi  
mavzusining texnologik modeli 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1. Silindrik koord.larda uzviylik tenglamasi 
2. Sferik koordinatalarda uzviylik tenglamasi 
O’quv  mashg’ulot  maqsadi:  uzviylik  tenglamasi  bo’yicha  bilimlarni  mustahkamlash,  u 
yordamida muammoli masalalarni yechish malakalarini rivojlantirish  
Pedagogik vazifalar: 
 - 
uzviylik 
tenglamasi 
to’g’risida 
ma’lumotlarni tizimlashtirish; 
 - 
uzviylik 
tenglamasi 
yordamida 
muammoli  vazifalarni  yechishni,  tahlil 
qilishni o’rgatish; 
O’quv faoliyat natijalari: 
 - uzviylik tenglamasi ma’lumotlarni tizimga soladilar; 
 - 
uzviylik 
tenglamasi 
yordamida 
muammoli 
vazifalarni 
yechadilar, 
tahlil 
qiladilar, 
xulosa 
chiqaradilar; 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska,  masalalar  to’plami,  ma’ruza  matni,  tarqatma 
materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
“Ortogonal egri chiziqli koordinatalarda uzviylik tenglamasi”ga oid namunaviy masalalar yechish  
mavzusining texnologik xaritasi 
Ish 
bosqichlari 
va vaqti 
Faoliyat mazmuni 
 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’uloti
ga kirish (15 
daq.) 
1.1.Mavzuning  nomi,  maqsad  va  kutilayotgan  natijalarni 
yetkazadi. 
1.2.Talabalar  bilimini  suhbat  shaklida    faollashtiradi  (№2 
ilova). 
Muammolarni 
yechish 
uchun 
talabalarning 
egallagan bilimlarini yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar,  yozib 
oladilar 
 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni  doskaga 
yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil  etadi: 
birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi.  Muammolarni 
yechish yo’llarini izlashni tashkillashtiradi. 
2.3. Muammoni yechish vaqtida to’g’ri yechimlarga e’tibor 
beradi,  xatolarni  ko’rsatadi.  Talabalar  bilan  birgalikda 
javoblar to’liqligini baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga 
javob 
beradi. 
Muammoni  yechish 
bo’yicha  o’z  fikrlari-
ni beradi 
Munozara qila-dilar, 
tahlil qiladilar, xulo-
sa chiqaradilar. 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu  bo’yicha  yakun  qiladi,  qilingan  ishlarni 
kelgusida  kasbiy  faoliyatlarida  ahamiyatga  ega  ekanligi 
muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar 
 
 

 
ORTOGONAL EGRI CHIZIQLI KOORDINATALARDA UZVIYLIK TENGLAMASI 
REJA 
1. Silindrik koord.larda uzviylik tenglamasiga doir masalalar; 
2. Sferik koordinatalarda uzviylik tenglamasi doir masalalar. 
 
          Adabiyotlar: 2,3,5. 
 
Tayanch iboralar: 
Massa, zichlik, hajm, siqiluvchanlik, tezlik, silindrik va sferik koordinatalar 
 
Belgilar: 
Ms 
- Muammoli savol 
Mv 
- Muammoli vaziyat 
Mt 
- Muammoli topshiriq 
Mm 
- Muammoli masala 
1-ilova 
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Massaning saqlanish qonuni 
 
2. 
Siqiluvchan suyuqlik 
 
3. 
Siqilmas suyuqlik 
 
4. 
Uzviylik tenglamasi 
 
5. 
Otogonal egri chiziqli va Dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
4-ilova 
Matn 
Tutash muhitning berilgan tezliklar maydoni uchun uzviylik tenglamasi  
 
0


V
div
dt
d



  
 
 
 
  
   (1) 
Siqilmaydigan suyuqlik uchun esa  
 
0
V
div


 
 
 
 
 
 
(2) 
Bu tenglama Dekart koordinatalar sistemasida ushbu ko’rinishni oladi 
          
0



























z
V
y
V
x
V
z
V
y
V
x
V
t
z
y
x
z
y
x





  
   (3) 
Siqilmaydigan suyuqlik uchun  
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 
1.  Massa deganda nimani tushunasiz? 
2.  Silindrik va sferik koordinatalar qanday aniqlanadi? 
3.  Uzviylik tenglamalari? 
 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
0















z
V
y
V
x
V
z
y
x
   
 
              
(4) 
Silindrik koordinatalarda  
   






0












z
U
r
U
r
r
U
t
r
z
r






   
 
  (5) 
Siqilmaydigan suyuqlik uchun 
 
 
 
 
 
 
 
 


0
1
1









z
U
U
r
r
r
U
r
z
r


  
 
 
    (6) 
Sferik koordinatalarda 
       




0
2























U
r
sin
U
r
r
r
r
U
sin
t
sin
2
r
                  
  (7) 
Siqilmaydigan suyuqlik uchun 
 




0
1
1
1
2
2

















U
sin
r
sin
U
sin
r
r
r
U
r
r
 
 
 
(8) 
 
1-masala.  Agar  zichlik  o’zgarmas  bo’lsa,  Berilgan  tezliklar  maydoni  silindrik  koordinatalar 
sistemasida uzviylik tenglamasini qanoatlantirishini ko’rsating:  
0
,
sin
1
,
cos
1
2
2
2
2





z
r
r
r
r
r






.  
Yechish.  Zichlik  o’zgarmas  bo’lganda  silindrik  koordinatalarda  uzviylik  tenglamasi  quyidagicha 
bo’ladi 


0
1
1









z
U
U
r
r
r
U
r
z
r


 
 
Tezlik komponentalarini bu tenglamaga olib borib qo’yamiz 
0
cos
1
1
cos
1
1
sin
1
1
cos
1
1
3
3
2
2










































r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
 
Demak berilgan tezliklar maydoni uzviylik tenglamasini qanoatlantirar ekan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
3- AMALIYOT 
DARSI 
KUCHLANISH VEKTORI VA TENZORI 
 
Kuchlanish vektori va tenzori  mavzusining texnologik modeli 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1. Berilgan yuzada kuchlanish vektori 
2. Kuchlanish tenzori 
O’quv  mashg’ulot  maqsadi:  uzviylik  tenglamasi  bo’yicha  bilimlarni  mustahkamlash,  u 
yordamida muammoli masalalarni yechish malakalarini rivojlantirish  
Pedagogik vazifalar: 
 -  kuchlanish  vektori  va  tenzori  to’g’-
risida ma’lumotlarni tizimlashtirish; 
 - 
kuchlanganlik 
holati 
haqidagi 
masalalarni  yechishni,  tahlil  qilishni 
o’rgatish; 
O’quv faoliyat natijalari: 
 - 
kuchlanish 
vektori 
va 
tenzori 
haqidagi 
ma’lumotlarni tizimga soladi; 
 - 
kuchlanganlik 
holati 
haqidagi 
masalalarni 
yechadilar, tahlil qiladilar, xulosa chiqaradilar; 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska,  masalalar  to’plami,  ma’ruza  matni,  tarqatma 
materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
“Kuchlanish vektori va tenzori ”ga oid namunaviy masalalar yechish  mavzusining texnologik xaritasi 
Ish 
bosqichlari 
va vaqti 
Faoliyat mazmuni 
 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’uloti
ga kirish (15 
daq.) 
1.1.Mavzuning  nomi,  maqsad  va  kutilayotgan  natijalarni 
yetkazadi. 
1.2.Talabalar  bilimini  suhbat  shaklida    faollashtiradi  (№2 
ilova). 
Muammolarni 
yechish 
uchun 
talabalarning 
egallagan bilimlarini yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar,  yozib 
oladilar 
 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni  doskaga 
yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil  etadi: 
birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi.  Muammolarni 
yechish yo’llarini izlashni tashkillashtiradi. 
2.3. Muammoni yechish vaqtida to’g’ri yechimlarga e’tibor 
beradi,  xatolarni  ko’rsatadi.  Talabalar  bilan  birgalikda 
javoblar to’liqligini baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga 
javob 
beradi. 
Muammoni  yechish 
bo’yicha  o’z  fikrlari-
ni beradi 
Munozara qila-dilar, 
tahlil qiladilar, xulo-
sa chiqaradilar. 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu  bo’yicha  yakun  qiladi,  qilingan  ishlarni 
kelgusida  kasbiy  faoliyatlarida  ahamiyatga  ega  ekanligi 
muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar 
 
 

 
KUCHLANISH TENZORI VA KUCHLANISH VEKTORI 
REJA 
1.  Berilgan yuzada kuchlanish vektori; 
2. 
Kuchlanish tenzori.
 
 
          Adabiyotlar: 1-5. 
 
Tayanch iboralar: 
Yuza, kuch, kuchlanish, proeksiya, kuchlanish tenzori 
 
Belgilar: 
Ms 
- Muammoli savol 
Mv 
- Muammoli vaziyat 
Mt 
- Muammoli topshiriq 
Mm 
- Muammoli masala 
1-ilova 
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Ichki kuchlar 
 
2. 
Kuchlanish vektori  
 
3. 
Kuchlanish tenzori 
 
4. 
Kuchlanish komponentalari 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
4-ilova 
 
Matn 
 
 
 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 
4.  Ichki kuchlar deganda nimani tushunasiz? 
5.  Kuchlanish deganda nimani tushunasiz? 
6.  Kuchalnish vektori nima? 
7.  Kuchlanish tenzori nima? 

 
 
Ushbu  kurs  bo’yicha  ma’ruzalardan  ma’lumki  1-rasmda  tasvirlangan   
n
P

  vyektor  kuchlanish 
vyektori bo’ladi. Kuchlanish vyektori uchun quyidagi formula o’rinli 
 
3
3
2
2
1
1
n
P
n
P
n
P
n
P







  
 
 
                     (1)   
bunda 
i
n  - byerilgan  yuza  normali  yo’naltiruvchi kosinuslari; 
i
P

 - 
M
 nuqtaga qo’yilgan  va koordinata 
o’qlariga  parallyel  yo’nalgan  kuchlanish  vyektorlari. 
i
P

  vyektorlarni   
j
e

  bazislar  bo’yicha  yoyib 
chiqamiz. 
j
ij
i
e
P
P



 
Bundan  
3
33
2
32
1
31
3
3
23
2
22
1
21
2
3
13
2
12
1
11
1
n
P
n
P
n
P
P
n
P
n
P
n
P
P
n
P
n
P
n
P
P
n
n
n









   
 
 
              (2) 
ij
P
 
miqdorlar majmuasi ikkinchi rang tyenzorni tashkil qiladi va kuchlanish  
tyenzori dyeb ataladi    
 











33
32
31
23
22
21
13
12
11
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
   
  
    (3) 
 
Ichki  harakat  miqdori  momyentlar  va  juftlar  mavjud 
bo’lmagan  holda  kuchlanish  tyenzori  simmyetrik  bo’ladi  va 
33
22
11
,
,
P
P
P
 
lar 
3
2
1
,
,
x
x
x
 
koordinata 
o’qlariga 
pyerpyendikulyar 
yuzalardagi 
normal 
kuchlanishlar, 
32
23
31
13
21
12
,
,
P
P
P
P
P
P



        esa  urinma  kuchlanishlar 
dyeyiladi.  
 
Masala.    Tutash  muhitning 
M
  nuqtasida 
P
 
kuchlanish  tenzori  berilgan 
z
y
x
,
,
  koordinata  o’qlarini 
koordinata  boshidan  mos  ravishda 
c
b
a
,
,
masofalarda  kesib  o’tuvchi  yuzada  kuchlanish  vektorini, 
normal va urinma kuchlanishlarni, shuningdek kuchlanish tenzorining bosh qiymatlari va  unga mos bosh 
yo’nalishlarini toping.     













1
0
0
0
3
1
0
1
3
P
,        
2
,
6
,
4



c
b
a
 
Yechish.      Analitik  geometriya  kursidan  ma’lumki,  koordinata 
o’qlarini  kesib  o’tuvchi  tekislik  tenglamasi    quyidagi  ko’rinishda 
bo’ladi 
1



c
z
b
y
a
x
 
S 

d
 
n


 
n

 
V
2 
V
1 

d
P
n
 
1 - расм 
x
 
n
P

 
z
 
c
 
b
 
a
 
y
 
M
 

 
Ushbu tenglamaga berilganlarni qo’yib, uni kanonik ko’rinishga keltiramiz 
0
12
-
6z
2y
x
3



 
Ko’rinib  turibdiki  berilgan  tekislikka 


3,2,6
N

vektor  perpendikulyar  bo’ladi.  Unga  mos  birlik  vektori 
quyidagicha aniqlanadi 







N
N
N
N
N
N
n
3
2
1
,
,

 
va demak 







7
6
,
7
2
,
7
3
n

 
 
Endi (3) formulalar yordamida kuchlanish vektori komponentalarini topamiz 
.
7
6
7
6
.
1
7
2
.
0
7
3
.
0
,
7
3
7
6
.
0
7
2
.
3
7
3
.
1
,
1
7
6
.
0
7
2
.
1
7
3
.
3
P
3
2
n1













n
n
P
P
 







7
6
,
7
3
,
1
n
P

 
Demak berilgan nuqtadan o’tuvchi yuzadagi kuchlanish vektorui topildi. 
 
 
TOPSHIRIQLAR