Algoritmlarni loyihalash fanidan mustaqil ish

Bu yerda, shartga ko‘ra, integral nolga teng, o‘ng tomon ham nolga teng bo’lishligi uchun Pn(xk)= 0, k = 1,2,...,n shartlar bajarilishi kiTiik. Q(xk) k ning barcha qiymatlari uchun nolga aylanmaydi, limnki u darajasi n dan kichik ixtiyoriy ko‘phad. Demak, Pn(xk)= 0, k = 1,2,...,n bo‘lsa, yuqoridagi tenglik bajariladi.

 Yetarliligi. Faraz qilaylik,(1) interpolyatsion va Pn(x) p(x)>0 vuzn bilan ortogonal ko‘phad bo‘lsin. Endi (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n-1 ligini ko‘rsatamiz.

Agar f ( x ) darajasi 2n-1 dan katta bo‘lmagan ko‘phad bo’lsa, uni

f ( x ) = Pn (x) Q(x) + R(x) (2)

ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda Q(x) va R(x) larning darajasi n dan kichik. Bu tenglikning ikkala tomonini p(x) ga ko‘paytirib, n dan

b gacha integrallaymiz:

Shartga ko‘ra, o‘ng tomondagi birinchi integral nolga teng, ikkinchi integraldagi R(x) darajasi n dan kichik ko‘phad bo‘lganligi, (l) ning interpolyatsionligi va (2) dan f ( xk)= R (xk) ekanligini etiborga olsak,

kelib chiqadi. Shu bilan yetarlilik sharti ham isbotlandi. Endi ortogonal ko‘phadning nollari haqidagi teoremani ko'ramiz.

Chebishev tipidagi kvadratur formulalar

Kvadratur formula (1)ko‘rinishga ega bo’lsin. Bu yerda p(x) > 0 vazn funksiya. (1) formulaning noma’lum parametrlari A va xk, (k. = 1,2,...,n) lar bo’lib, ularni shunday topaylikki, (1) ning algebraik aniqlik darajasi n ga teng bo‘lsin.

Quyidagicha belgilash kiritamiz:Agar f ( x ) = 1 desak, (1) dan (2) ga asosan bo‘ladi. Endi f(x)=xm, m=1,2,...,n deb, quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:(1) kvadratur formulaning tugunlari (3) tenglamalar sistemasining yechimlari bo‘lar ekan. (3) tenglamalar sistemasini yechish o‘rniga quyidagicha ish tutamiz. Faraz qilaylik, (1) ning tugun nuqtalari n tartibli ko'phadning nollari bo‘lsin