Algoritmlarni loyihalash fanidan mustaqil ish

Trapetsiyalar formulasiga asosan

Simpson formulasiga asosan

Interpolatsion kvadratur formulalarFaraz qilaylik, [ a, b ] oraliqda o‘zi va n +1 tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgan f ( x ) funksiyadan p(x) > 0 vazn funksiya bilan olingan integralni taqribiy hisoblash lozim bo‘lsin. Buning uchun [ a, b ] ga tegishli va turli bo‘lgan xk , k = 0,l,...,n tugun nuqtalar olib f ( x ) funksiyaning n-tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadini tuzamiz, ya’ni bu yerda Lagranj interpolyatsion ko‘phadining qoldiq hadi. (3) tenglikning ikki tomonini p(x) vazn funksiyaga ko‘paytirib, [a,b] oraliq bo‘yicha integrallasak hosil qilamiz. Agar interpolyatsiyalash yetarlicha yaxshi o'tkazilgan bo’lsa, uchun kichik miqdordir, undan olingan integralning qiymatini ham kichkma deb, tashlab yuborsakkvadratur formulaga ega bo’lamiz. Yuqorida ko‘rsatilgan tartibda hosil qilingan (4) formula, odatda, interpolyatsion kvadratur formula deyiladi va uning algebraik aniqlik darajasi n ga teng. Uning qoldiq hadiko’rinishiga ega

Bunda = (x-x0)(x-x1)…(x-xn). Eng sodda kvadratur formulalar bilan tanishamiz. Bu yerda p(x) = l.o‘rta to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi.

Uning qoldiq hadi ni

topish uchun f ( x ) ni [a,b] da ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega deb faraz qilamiz.

 

Gauss tipidagi kvadratur formulalar

Quyidagi kvadratur formulani qaraymiz:

bu yerda p(x) > 0 vazn funksiya, Ak , xk, k = 0,1,...,n noma’lumdir. Bu noma'lumlarni shunday aniqlash lozimki, (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n - 1 ga teng bo'lsin. Quyidagi teorema o‘rinlidir.

Teorema. (1) kvadratur formulaning algebraik aniqlik darajasi 2n-1 ga teng bo’lishligi uchun uning tugun nuqtalari da p(x) > 0 vazn funksiya bilan darajali ortogonal ko‘phadning ildizlari boiishligi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n-l bo’lsin. Tugun nuqtalami turli deb hisoblasak, (1) ning interpolyatsiyaligi ta’minlanadi. Teoremadagi ortogonal ko‘phadni Pn(x) deb belgilaylik. Darajasi n dan kichik boigan ixtiyoriy ko‘phad Q(x) ni olib, f ( x ) = Pn(x)Q(x) deylik. Bu ko'phadning darajasi 2n- l dan ortmaydi. Shuning uchun ham uni (1) formula aniq integrallaydi: