Algoritmlarni loyihalash fanidan mustaqil ish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
Teleradio eshittirish va Mobil aloqa fakulteti Algoritm va matematik modellashtirish kafedrasi
ALGORITMLARNI LOYIHALASH FANIDAN


MUSTAQIL ISH
Toshkent – 2023
MAVZU:Integrallarni taqribiy hisoblashda Gauss formulalari.G’oyasi va hatolik tartibi. Samaradorligi
Reja:
1.Kirish.
2. Gauss formulalari
- Gauss integral formula
- Gauss-Kronrod formulalari

3. G'oya va hatolik tartibi

- G'oya tarqatish usullari
- Hatolik tartibi
4. Samaradorligi
- Samaradorlikning aniqlovchi formulalar
- Gauss formulalari bilan amaliyot misollari

5. Natijalar va yechimlar

- Qo'llaniladigan manbalarning ro'yxati
6- Xulosa
7. Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati
1. Gauss formulalari, integrallarni taqribiy hisoblash uchun ishlatiladigan formulalardir. Ushbu formulalar, integrallar tartibida xatoliklar paydo bo'lishini kamaytirish va natijada samaradorlikni oshirish maqsadida ishlatiladi.
Gauss formulalari aholisi ko'p bo'lgan va ularning bir necha turkumlariga ega bo'lgan. Biz quyidagi Gauss-Legendre formula bilan tanishsak bo'ladi:
∫(a dan b gacha) f(x) dx ≈ (b-a)/2 Σᵢ wi f(xi)
Bu yerda, xi - Legendre polinomining i-chi ildizi, wi - uning tushuncha koefitsienti.
Gauss-Legendre formula hatolik tartibiga mos kelish uchun, integrallar oraliqda normalizatsiya qilingan holda x-1,1 oralig'ida hisoblanadi. Bu usulda hisoblashning eng katta samaradorligi ko'p hisoblanishi mumkin.
Gauss formulalari hatolik tartibini kamaytirish uchun yana bir qo'llanma usuli bilan ishlatiladi: Gauss-Seidel formula. Ushbu formulaga quyidagi ko'rinishda ega:
∫(a dan b gacha) f(x) dx ≈ (b-a)/2 Σᵢ wi f(xi)+f(b-a-xi)
Bu yerda, xi - Chebyshev polinomining i-chi ildizi, wi - uning tushuncha koefitsienti.
Gauss-Seidel formula hatoliklar sonini kamaytiradi, lekin samaradorligi bir oziga xos emas.
Samaradorlikning oshirilishi uchun Gauss-Kronrod formula ishlatiladi. Ushbu formula, integrallarni hisoblash uchun avtomatik integratsiya dasturlarida ishlatiladi.
Jamiy integrallarni hisoblashda, Gauss formulalari yuqori samaradorligi va past hatoliklari bilan ajralib chiqishga yordam beradi.
2.1. Gauss integral formulasi - ma'lum diapazondagi funktsiyaning integralini ushbu diapazondagi ma'lum nuqtalardagi funktsiya qiymatlari bo'yicha ifodalovchi matematik formula. U 1800-yillarning boshlarida formulani ishlab chiqqan nemis matematigi Karl Fridrix Gauss sharafiga nomlangan.

Gauss integral formulasining umumiy shakli:

∫f(x) dx ≈ ∑ wi f(xi)
Bu yerda f(x) integrallanadigan funksiya, xi va wi esa mos ravishda oldindan belgilangan nuqtalar va og‘irliklar to‘plamidir. ∫ belgisi ma'lum diapazondagi integratsiyani bildiradi.
Gauss integral formulasi raqamli tahlilda analitik baholab bo'lmaydigan integrallarni taxmin qilish uchun ishlatiladi. Xi va wi uchun mos qiymatlarni tanlab, nisbatan kam hisob-kitoblar bilan juda aniq taxminlarga erishish mumkin.
Gauss integratsiya formulalarining bir nechta turlari mavjud, ularning har biri turli xil funktsiyalar va integratsiya diapazonlari uchun optimallashtirilgan turli nuqtalar va og'irliklarga ega. Eng ko'p ishlatiladigan turlari Gauss-Legendre, Gauss-Hermit va Gauss-Lagerdir
2.2.Gauss-Kronrod formulalari - berilgan oraliqda funksiyaning integralini sonli hisoblash uchun foydalaniladigan sonli integrasiya formulalari to‘plami. Ushbu formulalar Gauss-Legendre formulalari kabi maxsus og'irliklar va tugunlardan foydalanadi, ammo qo'shimcha tugunlar va og'irliklarni ham qo'shadi. Ushbu qo'shimcha tugunlar va og'irliklar yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ishlatiladi.
Gauss-Kronrod formulalarining eng keng tarqalgan qo'llanilishidan biri bu kompyuter dasturlari tomonidan avtomatik ravishda hisoblangan integrallarning aniqligini oshirishdir. Shu sababli, Gauss-Kronrod formulalari tufayli aniqroq natijalarga erishish mumkin.
Gauss-Kronrod formulalarining turli xil versiyalari mavjud, ammo ularning barchasi asosan bir xil printsiplarga amal qiladi. Ushbu tamoyillar asosiy formulani tanlashni, qo'shimcha tugunlarni va ularning og'irliklarini hisoblashni va nihoyat ushbu komponentlarning barchasini birlashtirishni o'z ichiga oladi.
Gauss-Kronrod formulalarining afzalliklari ko'proq aniqlik va moslashuvchanlikni o'z ichiga oladi, kamchiliklar esa hisoblash narxining oshishini o'z ichiga oladi.
3.1 Gauss-Goya usullari - matematik integratsiya masalalarini yechishda qo'llaniladigan sonli usullar. Bu usullar funksiyalarning aniq integralini hisoblash uchun ishlatiladi va odatda analitik yechimga ega bo'lmagan masalalarga nisbatan qo'llaniladi.
Gauss-Goya usullarida integralga yaqinlashish uchun bir qator tortish koeffitsientlari va tugunlardan foydalaniladi. Ushbu tugunlar ma'lum bir og'irlik koeffitsienti bilan ko'paytiriladi va keyin barcha natijalar yig'iladi. Ushbu usullarning aniqligi ishlatiladigan tugunlar soniga va tanlangan og'irlik koeffitsientlariga bog'liq.
Eng keng tarqalgan Gauss-Goya usullari Gauss-Legendre usuli va Gauss-Germit usulidir. Aniq integralni hisoblash uchun Gauss-Legendre usuli, normal taqsimot funksiyalarining integralini hisoblash uchun Gauss-Germit usuli qo'llaniladi.

Boshqa Gauss-Goya usullari Gauss-Chebishev, Gauss-Lager va Gauss-Jacobi kabi turli xil o'zgarishlarni o'z ichiga oladi. Ularning har biri turli funktsiyalar uchun maxsus ishlab chiqilgan va aniq natijalarga erishish uchun mos ravishda tanlanishi kerak.

3.2 Gauss usulida xato yashash mumkin. Bu xatolar quyidagilar bo'lishi mumkin:
1. To'g'ri yo'nalishni bilmaslik yoki noto'g'ri qiymat kiritish.
2. Matnlar va sonlarni noto'g'ri tartibda ko'rinish.
3. Yarim yoki to'liq formulalarning noto'g'ri ishlatilishi.
4. Tushunchalarning noto'g'ri tafsilotlarini kiritish.
5. Hisoblash jarayonida qo'llanadigan hisoblash mashinasi yoki dasturiy ta'minotning xatolari.
Bu xatolarni aniqlash uchun, matematik usullariga qarab amaliyot olib borishingiz kerak va har bir qadamni tekshirishingiz kerak. Matematik usullariga nisbatan ishtirok etgan boshqa shaxslardan yordam so'rashingiz ham mumkin.
4.2 Gaussning yechim usuli - chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun ishlatiladigan usul. Bu usulda tenglamalar tizimini matritsa shakliga aylantirish orqali matritsa elementlari ustida ba'zi amallar bajariladi va natijada noma'lumlarning qiymatlari olinadi. Gauss usuli quyidagi formula bilan ifodalanadi:
Ax = b
bu erda A - koeffitsient matritsasi; x - noma'lum vektor; b - o'ng tomon vektor. Gauss usuli A matritsasini uchburchak qilib, yechim hosil qiladi.
Gauss usuli quyidagi bosqichlardan iborat:
1. A koeffitsient matritsasi va o'ng tomon b vektori o'rtasida kengaytirilgan matritsani tuzing.
2. Matritsaning birinchi ustunidan boshlab, pastki uchburchakni nolga aylantirish uchun qator amallarini bajaring.
3. Bosh diagonal bo‘ylab birinchi elementi 1 ga teng bo‘lgan birlik matritsasini tuzing.
4. Matritsaning ikkinchi ustunidan boshlab, pastki uchburchakni nolga aylantirish uchun qator amallarini bajaring.

5. Asosiy diagonal bo‘ylab ikkinchi elementi 1 ga teng bo‘lgan birlik matritsasini tuzing.

6. Ushbu jarayonni oxirgi ustungacha takrorlang.
7. Olingan uchburchak matritsani orqaga almashtirish orqali yeching.
Gauss usuli tenglamalar tizimining kattaligi bilan murakkablashadi. Biroq, bu hatto kattaroq tizimlar uchun ham samarali usul bo'lib, kompyuter dasturlari tomonidan osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin.Kundalik hayotimizda uchraydigan ko‘p muhandislik masalalarini yechishda aniq integrallarni hisoblashga to‘g‘ri keladi. Faraz qilaylik, ni hisoblash talab etilsin. Bu yerda f(x) - [a,b] kesmada berilgan uzluksiz funksiya. Bu integralni hisoblashda quyidagi formula (Nyuton-Leybnis formulasi) qo'llaniladi:bu yerda f(x) - boshlang'ich funksiya. Agar boshlang'ich funktsiya f(x) ni elementar funksiyalar orqali ifodalab bolmasa yoki integral ostidagi funksiya f(x) jadval ko'rinishida berilsa, u holda (1) formuladan foydalanish mumkin emas.Bu holda aniq integralni taqribiy formulalar orqali hisoblashga to‘g‘ri keladi.Agar [a;b] kesmada f(x)≥0 bo’lsa, u holda a ning qiymati son jihatidan u=f(x) funksiyani grafigi hamda x = a, x = b, to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan shakl (figura)ning yuziga teng .Agar [a;b] kesmada f(x)≤0 bo’lsa,integralning qiymati yuqorida keltirilgan shaklning teskari ishora bilan olingan yuziga teng .