Algebra va matematik analiz

9-miso1. y = {x} funksiyaning davriyligi va asosiy davri T= 1 bo'lishini isbot qilamiz, bunda {x} = x - [x].
Isbot: x ga har qanday T butun son qo'shilsa ham x ning kasr qismi o'zgarmaydi: {x + T} = {x}. Demak, {x} funksiya davriy funksiya va har qanday butun son uning davri. T= 1 soni shu funksiyaning asosiy davri ekanini isbot qilamiz. Buning uchun T₁  (0; 1) soni {x} ning davri bo'la olmasligini ko'rsatishimiz kerak. Aksincha, u ham davr bo'lishi mumkin, deylik. U holda {x + T₁ } = {x} bo'ladi. Xususan, x= 0 da {0 + T₁} = {0} = 0 ga ega bo'­lamiz. Ikkinchi tomondan, {0 + T₁} = { T₁ } = T₁. Keyingi ikki tenglikdan T₁ = 0 ekani kelib chiqadi. Bu esa T₁  (0; 1) bo'lishiga zid. Demak, T soni {x} funksiyaning davri, uning asosiy davri 1 sonidan iborat.


4. Teskari funksiya.
Bizga D sohada aniqlangan va qiymatlar to’plami Ey sohadan iborat bo’lgan funksiya berilgan bo’lsin. x o’zgaruvchining D sohadan olingan har bir qiymatiga u o’zgaruvchining (funksiyaning) Ey sohadan olingan aniq bir qiymati mos qo’yilgan bo’lsin.
Ta’rif: Agar u o’zgaruvchini (funksiyani) argument x o’zgaruvchini (argumentni) esa funksiya deb qabul qilsak, u holda olingan funksiya y=fx funksiyaga nisbatan teskari funksiya deyiladi.
Bu yerda funksiya y dan funksiya u ga o’tishda argument va funksiya o’z rollarini almashtiradi. Lekin ikkala funksiya ham x va u miqdorlar orasidagi bog’lanishlarni ifodalaydi. Agar funksiya funksiya y ga teskari funksiya bo’lsa, u holda funksiya y ga nisbatan teskari funksiya bo’ladi. Biror nuqtada funksiyaning qiymatini topish uchun tenglamani yechish kerak, uning yagona x₀ ildizi funksiyaning u₀ nuqtadagi qiymati bo’ladi . Bordi-yu funksiya analitik ravishda biror tenglama bilan berilgan bo’lib, bu tenglamadan x ni u orqali bir qiymatli ifodalash imkoniyati bo’lib, ya’ni bo’lsa, u holda bu tenglama berilgan u = f(x) funksiya ga teskari bo’lgan funksiya ni aniqlash imkoniyatini beradi.
Umumiy kelishuvga muvofiq teskari funksiyani (x ni) u orqali, uning argumenti (u ni) x orqali belgilab teskari funksiyani ham odatdagi u = f(x) ko’rinishda yozamiz. Bunday holda u=f(x) to’g’ri funksiyaning aniqlanish sohasi unga teskari bo’lgan funksiyaning o’zgarish sohasi bo’ladi va teskarisi ham o’rinli.
Endi teskari funksiya ning grafigini to’g’ri funksiya grafigidan qanday hosil qilinishligini izohlaylik. u=f(x) funksiya ning grafigidan unga teskari bo’lgan u=(x) funksiyaning grafigiga o’tishda koordinata o’qlari almashganday bo’lib, birinchi grafikning M (x₀ ; u₀) nuqtasi ikkinchi grafikning M₁ (u₀, x₀) nuqtasiga o’tadi. Shuning uchun berilgan M(x₀, u₀) nuqta bo’yicha M₁ (x₀, u₀) nuqtani yasashning eng qulay usulini ko’rsatish yetarli. Birinchi va uchinchi koordinatalar burchaklarining u=x bissektrisasini o’tkazamiz ( -rasm).