Algebra va matematik analiz

5-misol. f = funksiyaning [0; +)yarim o'qda kamayuvchi ekanini isbot qilamiz.
Yechish. y=x funksiya [0; +) yarim o'qda noman­fiy va o'suvchi. 2) va 7) ta'kidlarga ko'ra, x⁶ va 4x³ funk­siyalar ham shu yarim o'qda o'sadi. U holda 1) va 5) ta'­kidlarga ko'ra x⁶ + 4x³ + 1 funksiya [0; +) da o'sadi, 4) ta'kidga ko'ra funksiya kamayadi.
(3- rasm)
Agar funksiya [a; x₁] da o'sib, [x₁; b] da kamayuvchi bo'lsa, uning x₁ dagi f(x,) qiymati [a; b] dagi qolgan barcha qiymatlaridan katta bo'ladi (3- a rasm).
Masalan, y - (x-x₃)² +y_l funksiya (-; ) da eng katta qiymatga erishadi, y_engkatta=y₁, (3- e rasm). Aksincha, y= (x-x₂)²+y₀ funksiya (-; x₂] oraliqda kamayib, [x₂; +) da o'sadi (3-b rasm). Uning x₂ dagi y₀ qiymati (-; +) dagi qolgan barcha qiymatlaridan kichik: y_{eng kichik} = y₀. 3- a rasmda grafigi y=y₀ va y=y_l to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan f(x) funksiya tasvirlangan. 3-b rasmda parabolaning tarmoqlari yuqoriga cheksiz yo'nalgan: y = + yoki y=+. Bu funksiya yuqoridan chegaralangan emas, quyidan y - y₀ to'g'ri chiziq bilan chegaralangan. Shu kabi, 3-e rasmda tasvirlangan funksiya yuqoridan y=y_l bilan chegaralangan, y = x³ funksiya esa (3- d rasm) yuqoridan ham, quyidan ham chegaralangan emas. Lekin [c; d] oraliqda bu funk­siya y = y_{ va y = y₀ to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan bo'ladi.
Ta’rif: Agar shunday M haqiqiy soni mavjud bo'lib, barcha xX sonlari uchun f(x) M (mos ravishda f(x) M) tengsizlik bajarilsa, f funksiya X to'plamda quyidan chegara­langan (yuqoridan chegaralangan) deyiladi.