Algebra. Algebralar gomomorfizmi. Gruppa, halqa, jism, maydon. Yarimgruppa, yarimhalqa, vektor fazo II 1-ta’rif

II.3.29-ta’rif. va halqalar berilgan bo’lsin. ni ga akslantiradigan va halqaning hamma amallarini saqlaydigan akslantirish gomomorf akslantirish deyiladi.
Odatdagidek -in’ektiv bo’lsa, monomorf; syurьektiv bo’lsa epimorf; biektiv bo’lsa izomorf akslantirish deyiladi. Halqani o’zini-o’ziga gomomorf akslantirish endomorfizm; izomorf akslantirish esa avtomorfizm deyiladi.
Huddi algebradagidek halqalarning izomorfizmi ekvivalentlik munosabati bo’lib, izomorf halqalar orqali belgilanadi.
II.3.30-misol butun sonlar halqasi (K, , Θ, ) II.3.27-misoldagi halqa bo’lsin, u holda ,

akslantirish gomomorfizmdir.
Halqaosti tushunchasi ham, algebraosti tushunchasi kabi kiritiladi.
II.3.31-ta’rif. halqa berilgan bo’lsin. esa ning bo’sh bo’lmagan to’plamostisi bo’lsin.
Agar to’plam dagi amallariga nisbatan algebraik yopiq bo’lsa, ya’ni uchun shartlar bajarilsa -algebra halqaning halqaostisi deyiladi.
Halqaosti o’z navbatida halqa bo’lishi ravshan, chunki halqa ta’rifining qolgan shartlari munosabatdan kelib chiqadi.
Ta’rif. Kamida ikkita xar xil elementga ega bulgan F₁ kommutativ xalka elementlari uchun a0 bulganda ushbu
ax=v (1)
tenglama F₁ ga tegishli yagona a^-1v yechimga ega bo’lsa, u holdaF₁ kommutativ xalkaga maydon deyiladi.
Ta’rif. Xar bir nolь bulmagan elementi teskarilanuvchan bo’lgan F₁ maydonning xalkaostisiga F₁ maydonning maydonosti deyiladi.
Ta’rif.Noldan farqli hamma elementlari ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa hosil qiladigan halqaga jism deyiladi.
Ta’rifdan ko’rinadiki harqanday maydon jismdir, lekin har qanday jism maydon bo’lavermaydi. Masalan, kverternionlar halqasi jism ammo maydon bo’lmaydi.
Agar K to’plam + va  amallariga nisbatan halqa tashkil etib,  amaliga nisbatan birlik element mavjud va 0 dan farqli bo’lgan K halqaning har qanday elementi uchun teskari element mavjud bo’lsa, u holda K ni jism deyiladi. Demak, K to’plam jism bo’lishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

1. 
   + amali assotsiativ;
   
2. 
   + amali kommutativ;
   
3. 
   + amaliga nisbatan neytral element  mavjud;
   
4. 
   K ning har qanday elementi a uchun + amaliga nisbatan teskari (qarama-qarshi) bo’lgan -aK mavjud;
   
5. 
    amali assotsiativ;
   
6. 
    amali + amaliga nisbatan distributiv;
   
7. 
   K halqada shunday ye element mavjudki, yea=ae=a tenglik bajariladi;
   
8. 
   K halqadagi har qanday 0 dan farqli bo’lgan a element uchun teskari element a^-1K mavjud, ya’ni
   

aa^-1=a^-1a=e tenglik bajariladi.
Agar K jism bo’lib, quyidagi qo’shimcha shart
9.  amali kommutativ;
bajarilsa, u holda K ni maydon deyiladi. Demak, kommutativ jism maydondir. Gruppa, halqa, jism va maydondagi elementlar soniga qarab uni chekli yoki cheksiz deb nomlanadi.
Maydonning har qanday a va b elementlari (a0) uchun ax=b; xa=b tenglamalarning yechimlari mavjud va bu yechimlar bir xil bo’ladi. Lekin jism elementlari a va b lar uchun bu yechimlar mavjud bo’lgan xolda ular teng bo’lmasliklari mumkin.
CHiziqli fazo tushunchasi ham algebra va sonlar nazariya kursidagidek ta’riflanadi.
Agar to’plam P maydon ustida chiziqli fazo tashkil etib, to’plamning o’zi ham + va  amallariga nisbatan halqa tashkil etsa va har qanday P, x,y elementlar uchun (1) tengliklar bajarilsa, u holda to’plamni P maydon ustida algebra tashkil etadi deyiladi. (1) tengliklarni yozishda halqadagi ko’paytirish amalini  bilan chiziqli fazoning x vektorini P skalyarga ko’paytirish amalini simvoli bilan belgilandi.
Agar L to’plam P maydon ustida algebra tashkil etsa, chiziqli fazoning o’lchovini algebraning rangi deb ataladi.
to’plam gruppa (yoki halqa, jism, maydon, chiziqli fazo, algebra) tashkil etib uning qism to’plami ham dagi amalga nisbatan gruppa (yoki halqi, maydon, jism, chiziqli fazo, algebra) tashkil etsa, u holda ni ning qism gruppasi (halqasi, jismi, maydoni, fazosi, algebrasi) deyiladi. Bu holda ni ning kengaytmasi ham deyiladi.
Ta’rif. Agar kuyidagi aksiomalar bajarilsa, u holdaV tuplam ℱ sonlar maydoni ustiga kurilgan vektor fazo deyiladi:

1. 
   V – additiv abelь gruppasi;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   .
   

Ta’rif. ℱ maydon ustidagi V chizikli fazo elementlari uchun kuyidagi aksiomalar bajarilsa,

u holdaV fazoni ℱ maydon ustidagi chizikli algebra deyiladi.
Ta’rif. Agar V chizikli algebrada aksioma bajarilsa, V kommutativ chizikli algebra deyiladi.