Algebra. Algebralar gomomorfizmi. Gruppa, halqa, jism, maydon. Yarimgruppa, yarimhalqa, vektor fazo II 1-ta’rif

II.2.6-teorema. - monoidda elementga elementga esa - simmetrik element bo’lsin, u holda elementga simmetrik element bo’ladi.
Isbot. Haqiqatdan ham, va

II.2.7-teorema. - monoid berilgan bo’lsin, agar element uchun simmetrik element mavjud bo’lsa, bunday element regulyar elementdir.
Isbot. Haqiqatdan ham, elementga element simmetrik bo’lsin, u holda elementlar uchun shart bajarilsa, yoki bo’ladi. Agar bo’lishini hisobga olsak, bo’ladi.
II.2.8-ta’rif. -gruppoid va bo’lsin. Agar elementlar uchun bo’lsa, to’plam algebraik amalga nisbatan algebraik yopiq deyiladi. juftlik esa gruppoidning qism gruppoidi yoki gruppoidosti deyiladi.
II.2.9-misol gruppoid gruppoidning qism gruppoididir.
II.2.10-ta’rif. to’plam va da bajariladigan algebraik amallar to’plami berilgan bo’lsin. - juftlik algebra deyiladi.
- to’plam algebraning bosh to’plami, -algebraning bosh amallari to’plami deyiladi.
to’plam berilgan bo’lsa, to’plam dagi barcha amallarga nisbatan algebraik yopiq bo’lishi ravshan. Algebradagi -amallar to’plami chekli, ya’ni bo’lsa, o’rniga yozuvni ihchamlashtirish maqsadida _(A, ) - deb yozishga kelishib olamiz.
II.2.11-misol. Har qanday gruppoid algebradir.
II.2.12-misol. Haqiqiy sonlar to’plami va unda bajariladigan «•», «+» amallari 0-o’rinli amallar 0, 1 lar bilan birga, ya’ni - algebradir. Bu algebraning bosh amallari to’plami bo’lib, darajaga ko’tarish, ayirish amallarini hosilaviy amallar deb qarashimiz mumkin.