Algebra. Algebralar gomomorfizmi. Gruppa, halqa, jism, maydon. Yarimgruppa, yarimhalqa, vektor fazo II 1-ta’rif

II.3.2-teorema. Gruppadagi ixtiyoriy elementga chap teskari element, shu elementga o’ngdan ham teskari bo’ladi.
Isbot. Gruppaga tegishli elementga chapdan teskari element, o’ngdan ham teskari bo’lishini ko’rsatamiz. SHartga ko’ra undan tashqari element ga chapdan teskari element bo’lsa bo’lishi ham ravshan u holda, gruppa ta’rifining 2 va 3 shartlariga ko’ra
SHunday qilib , ya’ni element elementga o’ngdan teskari element ekan.
II.3.3-teorema. Gruppada o’ng birlik element, chap birlik element bo’ladi.
Isbot. Gruppa ta’rifi va II.3.2-teoremaga ko’ra .
II.3.4-teorema. Gruppada birlik element yagonadir.
Isbot. II.3.3- teoremada chap birlik element o’ng birlik elementga tengligini ko’rsatdik. Bu elementni gruppaning birlik elementi deb ataymiz. Endi ikkita va birlik elementlar mavjud deb faraz qilaylik. U holda
II.3.5-teorema. Gruppada ixtiyoriy element uchun yagona teskari element mavjud.
Isbot. Haqiqatdan elementga va teskari elementlar mavjud bo’lsin, u holda .
II.3.6-teorema. Gruppaning ixtiyoriy va elementlari uchun va tenglamalarning har biri yagona yechimga ega.
Isbot. va elementlar mos ravishda bu tenglamalarning yechimi bo’lishi ayon. Faraz qilaylik tenglamaning ikkita va yechimlari bo’lsin. U holda yoki . Bu tenglikning ikkila tomonini ga ko’paytirsak yoki u holda demak bo’ladi. Ikkinchi tenglama yechimi yagona bo’lishi shunga o’xshash isbot qilinadi.
II.3.7-natija. Gruppaning ixtiyoriy elementlar uchun yoki bo’lsa bo’ladi.