Aksiyadorlik jamiyati toshkent temir yo‘l muhandislari instituti «Temir yo’l transportida axborot tizimlari» kafedrasi “Raqamli texnika va mikroprotsessorlar”

6.4. O’N OLTILIK SANOQ TIZIMI
Matematik hisoblashlarda uzun ikkilik sonlardan foydalanish noqulay hamda yozishda xatoliklarga ko’p yo’l qoyiladi.Shu sabab uzun ikkilik sonni 4 bitli guruhlarga bo’lib chiqish mumkin. Harbirguruh 2⁴=16 ko’rinishidag isonlar kombinatsiyasiga ega bo’ladi. Aynan shuning uchun ko’pincha sanoq tizimi bilan ishlashda bu yo’nalish qulay hamda 16 lik sanoq tizimi deb nomlanadi¹.O’n oltilik sonlarni yozish uchun 0-9 bo’lgan raqamlar va A-F gacha bo’lgan harflar ishlatiladi (6.2-jadval). O’n oltilik sonlarda har bir pozitsiyadagi sonning ko’rinishi quyidagicha o’zgaradi:

1, 16, 16² (yoki 256), 16³ (yoki 4096) va hokazo.

Jadval 6.2 O’n oltilik sanoq tizimi

6.3 – rasm. O’n oltilik sonni o’nlik songa o’tqazish

Misol 6.3 O’n oltilik sonni ikkilik songa o’tqazish.

2ED₁₆ sonini ikkilik songa aylantiring

Yechish: O’n oltilik sonni ikkilik songa yoki teskarisi ikkilik sonni o’n oltilik songa o’zgartirish juda oson. Har bir o’n oltilik son 4-razryadli ikkilik songa mos ravishda yoziladi. 2₁₆=0010₂, E₁₆=1110₂ va D₁₆=1101₂, shunga ko’ra 2ED₁₆=001011101101₂ bo’ladi. O’nlik songa o’zgartirish uchun bir muncha hisoblashlar bajariladi.

2ED₁₆=2*16²+E*16¹+D*16⁰=749₁₀

Misol 6.4 Ikkilik sonni o’n oltilik songa o’tqazish.

1111010₂ sonni on oltilik songa o’tqazish.

Yechish: Bu juda onson. O’n tomondan boshlaylmiz. Oxirgi to’rta bit 1010₂ =A₁₆ teng. Kelgusi bitlar 111₂ =7₁₆ teng. Qaeyrda 1111010₂ =7A₁₆ teng.

O'nlik sanoq tizimidan quyi sanoq tizimiga o’tkazish qoidasi:

1. 
   O’nlik sanoq tizimidagi son o’tkazilishi lozim bo'lgan sanoq tizimining asosiga ketma-ket bo'linadi, va bu jarayonni toki bo'linma bo'luvchidan kichik bo'lgunga qadar davom ettiriladi va hosil qilingan qoldiq hadlar bo'linmadan boshlab chapdan o’ngga qarab tartiblanadi.
   

Misol 6.5 O’nlik sonni o’n oltilik va ikkilik songlarga o’tqazish.

135₁₀ O’nlik sonni o’n oltilik va ikkilik songlarga o’tqazish.

_{135(10)  X(16) 135(10)  X}(2)

135	16		135	2
128	8		134	67	2
7			1	66	33	2
				1	32	16	2
					1	16	8	2
						0	8	4	2
							0	4	2	2
								0	2	1
									0

X₍₁₆₎=87 X₍₂₎=1000111

2. 
   O’nlik kasrni quyi sanoq tizimiga o’tkazish qoidasi. O’nlik sanoq tizimidagi kasr sonni quyi sanoq tizimining asosiga berilgan o’nlik kasr ketma-ket ko’paytiriladi va hosil bo'lgan sonning butun qismi verguldan keyin ketma-ket olinadi.
   

0,63_(10) X₍₂₎

0	63*2
1	26*2
0	52*2
1	04*2
0	08*2
0	016

X₍₂₎= 0,10100

3. 
   Ikkilik sanoq tizimidan o’nlikka va o’n oltilikdan o’nlikka o’tkazish qoidalari.
   

Masalan: 10000111,100(2) - X(10)

X₍₁₀₎ =1*2⁷ +1*2² + 1*2¹ +1*2⁰ +1*2^-1 = 128 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 135,5₍₁₀₎

207,4(16)X₍₁₀₎

X₍₁₀₎ =2*16² +0*16¹ + 7*16⁰ +4*16^-1 = 512+7+0,25 = 519,25₍₁₀₎

6.5. BAYT, YARIM BAYT

Sakkiz bitdan tashkil topgan guruh bir bayt (byte) deyiladi¹.Bayt 2⁸=256 ko’rinishidagi sonlar pozitsiyasini o’z ichiga oladi.Kompyuter xotirasida saqlanadigan modullar o’lchami odatda baytlarda o’lchanadi bitda emas.

To’rt bitdan iborat guruh yarim bayt (nibble) deyiladi.Yarim bayt 2⁴=16 kabi sonlar kombinatsiyasiga ega.Hozirgi vaqtda yarim baytdan ko’p foydalanilmaydi.

Mikroprotsessor ma’lumotlarni to’liqligicha hisoblamaydi, u so’zlardan iborat katta bo’lmagan bloklarda malumotlarni qayta ishlaydi.Wors so’zining o’lchami bir martalik o’lcham hisoblanmaydi, uning o’chami har bir protsessorning arxitekturasiga qarab belgilanadi.Masalan 64 bitli protsessorlar ma’lumotlarni 64 bitli o’lchamda bloklab (so’zlab) qayta ishlaydi.

6.4 – rasm.Bit va baiyt mazmunlari

Muvofaqiyatli mos kelish natijasida 2¹⁰=1024=10³ ko’rinish bizga 2¹⁰ ni qisqartirib yozish uchun kilo (grekcha ming) so’zini ishlatish imkonini beradi. Masalan, 2¹⁰ bayt – bu bir kilobayt (1 KB).Shu tariqa mega (grekcha million) 2²⁰=10⁶, Giga (grekcha milliard) esa 2³⁰=10⁹ ko’rinishida bo’ladi.

Misol 2.6 Ikkilik darajasini baholash

2²⁴ taqribiy qiymatini kalkulyatirsiz toping

Yechim: 2²⁴=2²⁰*2⁴ .2²⁰=1 million. 2⁴=16. Demak, 2²⁴=16 million.Aniq qilib aytganda 2²⁴ =16 777 216.

1024 baytni kilobayt (KB) deyilganidek 1024 bitni ham kilobit deyiladi (Kb yoki kbit). Umuman olganda, MB, Mb, GB va Gb qisqartmalari million va milliard baytlar hamda bitlar qiymatlarini qisqartirish uchun belgilangan. Xotiradagi malumotlar odatda baytlarda o’lchanadi.Ma’lumotlarni uzatish tezligi esa bitlarda o’lchanadi ya’ni bit/sekund.Masalan telefon modemlardagi eng yuqori tezlik 56 kilobit sekund bo’lishi mumkin.
6.6. IKKILIK SONLARNI QO’SHISH
Ikkilik sonlarni qo’shish o’nlik sonlarni qo’shish kabi bajariladi va bu undan ko’ra osonroq ham.(Rasm6.5)¹. O’nlik sonlarni qo’shishdagi kabi, agar ikki sonni qo’shganda yig’indi 1 razryaddan ortsa, u holda 1 ni kengi razryadga otqaramiz. Quyida ikkilik va o’nlik sonlarni qo’shish ifodalangan.

6.5 –rasm. O’nlik va ikkilik sonlarni qo’shish misoli

6.5 (a) Rasmda o’ng taraf birinchi ustunda 7 va 9 soni turibdi. Ularning yig’indisi 16, ya’ni 9 dan katta, demak bir o’nlik razryaddan katta. Shuning uchun biz javobda birinchi songa 6 (birinchi ustun), 10 ni esa ikkinchi razryad (ikkinchi ustun) ga 1 qilib yozamiz. Shu tariqa ikkilik sonlarni qo’shishda ham agar ikki son yig’indisi 1 dan oshsa, biz 2 ni kengi razryadga 1 qilib o’tqazamiz.

6.5 (b) rasmda ong ustunda, masalan, 1+1=2₁₀=10₂, javob ikkilik razryadga sig’maydi. Shuning uchun birinchi razryadga 0 ni yozib 1 ni esa kengi razryad (ikkinchi ustun)ga yozamiz. Ikkinchi ustunda yana 1+1 va yana kengi razryadga 1 qo’shiladi. Yig’indi 1+1+1=3₁₀=11₂.

Misol 6.7 Ikkilik sonlarni qo’shish

Hisoblang 0111₂+0101₂

Yechish.6.6 rasmda yig’indi 1100₂ ga teng.Qo’shilishi kerak bo’lgan sonlar tepada + 0101 ko’k rangda belgilangan.Ikkilik sonlarni o’nlikka o’tqarib hisoblab chiqamiz.

0111₂=7₁₀, 0101₂=5₁₀. Yig’indi 12₁₀=1100₂

111



6.6 – rasm. Ikkilik sonlarni qo’shish

Raqamli tizimlar odatda sonlarni oldindan aniqlash va miqdor darajasi qayd qiladi. Vaziyat, qachon qo`shish natijasi unga berilgan daraja(razryad)dan oshsa to`ldirish(overflow) deyiladi. To`rt bitli yacheyka xotirasi, misol uchun, qiymatlarni [0, 15] oralig`ida saqlashi mumkin. Bunday yacheyka agar qo`shish natijasi 15 sonidan oshsa to`ldiriladi. Ushbu holatda qo`shimcha 5-bit olib tashlanadi, natija esa 4-bitda qolgan bo`lsa xato hisoblanadi. To`ldirishni ko`rish mumkin, agar ikkilik sonining katta darajadagi bit ko`chishini kuzatsak (1.8-rasmga qarang), eng katta chap ustuni.

Misol 6.8 Qo`shish to`ldirishdan

11012+01012 hisoblang. To`ldirish bo`ladimi?

Yechimi. 1.10 rasmda yig`indi 100102ga tengligi ko`rsatilgan.

Natija 4 bitli ikkilik sonning chegarasidan chiqib ketadi. Agar uni 4 bitda eslab qolish kerak bo`lsa, eng katta ma`noga ega bit yo`qoladi, noto`gri natija 00102 ni qoldirib.

6.7. IKKILIK SONLARNING BELGISI
Biz hozirgacha ikkilik sonlarni begisiz ko’rib chiqdik, ya’ni faqat musbat ikkilik sonlarni.Ko’p hollarda hisoblashda ham manfiy, ham musbat sonlar ishlatiladi, bunda bizga ikkilik sonning belgisi uchun qo’shimcha razryad kerak bo’ladi.Ikkilik sonlarni belgisini ifodalash yo’llari bir nechta. Eng ko’p ishlatiladigani ikkita: To’g’ri kod (Sign/Magnitude) va Qo’shimcha kod (Two’s Complement).

To`gri kod

Manfiy ikkilik to`g`ri kodlarni foydalanishni tasavvur qilish o`ziga jalb qiladi, modomiki odatiy manfiy sonlarni yozish usuli bilan o`xshasa, qachonki boshida manfiy ishora belgisi ketsa, keyin absolyut son qiymati. Ikkilik son, N bitlardan iborat va to`g`ri kodda yozilgan bo`lsa,eng katta bit belgisining qiymatidan foydalanilsa, qolganlari N-1 biti qolga sonning absolyut yoziladi. A katta bit qiymati 1, unda son musbat. Agar katta qiymat biti 1,unda son manfiy.

6.9-Misol. Sonni to`g`ri kodda soda ko`rsatish

To`gri kodda 5 va -5 sonlarini 4 bitli ko`rinishda yozing.

Yechimi: Ikki son 5₁₀ = 101₂ absolyut kattalikka ega. Shuning bilan 5₁₀ = 0101₂ va –5₁₀ = 1101₂ . Afsuski, ikkilik sonlar belgisi bilan to`g`ri kodda yozilgan bo`lsa, qo`shishning standart yo`li ishlamayabdi. Misol uchun, −5<sub>10</sub> + 5<sub>10</sub> larni oddiy qo`shib, 1101₂ + 0101₂ = 10010₂ ni olamiz. Haqiqatdan bu to`liq bemanilik. Ikkilik o`zgaruvchi uzunligi N bit to`g`ri kodda sonni [−2N⁻¹ + 1, 2N ⁻¹ − 1] oraliqda ko`rsatadi. To`g`ri kodning boshqa bir g`alati muhimlig`I +0 va -0 mavjudligi, ushbu ikki son ham birgina nolga mos keladi. Ikkita farqli usullardan ushbu kattalikni xatoliklarni o`z ichiga olishini taxmin qilish qiyinmas.

Ikkilik sonidagi qo`shim kodlar, qo`shimcha koddan foydalanib yozilgan, ikkilik sonlar belgisiz bir xil, bundan tashqari, qo`shimcha kod hodisasida katta bit −2N<sup>−1</sup> o`rniga 2N⁻¹ ikkilik son belgisiz. Qo`shimcha kod nol ma`nosini kafolatlaydi va sonlarni qo`shishiga ruxsat beradi, demak to`g`ri kodning kamchiliklaridan qutilgan.

Qo`shimcha kod hodisasida nolli qiymatlar barcha ikkilik sonlarining razryadlarida ko`rsatiladi: 00…000₂ . Maksimal musbat qiymati nol ko`rinishida eng katta darajasida ko`rsatilgan va boshqa ikkilik sonlarining darajalarida birlar:

01…111₂ = 2N⁻¹ − 1.

Maksimal manfiy qiymatga katta muhim razryadda 1 qiymatga ega va boshqa razryadlarda o ga ega: 10…000₂ =−2N⁻¹ . Manfiy bir ikkilik sonning barcha razryadlarida bir bilan ko`rsatilgan : 11…111<sub>2</sub> . E`tibor bering barcha musbat sonlarning eng katta razryadi bu - «0», manfiy sonlarda esa bu - «1», ya`ni qo`shimcha kodning ahamiyatli bitini to`g`ri kodning analog qiymatida ko`rib chiqish mumkin. Ammo ushbu o`xshashlik tugaydi, qolgan qo`shimcha kodning bitlari xuddi to`g`ri kod kabi izohlanmaydi.

Qo`shimcha kod hodisasida, manfiy ikkilik sonining belgisi qarama-qarshisiga maxsus operatsiyalar yo`li bilan o`zgaradi, ikkigacha to`ldirish deb ataladi (taking the two’s

complement). Ushbu operatsiyaning mohiyati o`z ichiga ushbu sonning barcha bitlari инвертируются, keyin eng kichik qiymat bitiga 1 qo`shiladi.

Подобная O`xshash operatsiyani ikkilik manfiy son yoki uning absolyut qiymatini aniqlash mumkin.

Misol 6.10 Musbat sonlarning qo’shimcha koddagi ifodasi

-2₁₀ sonini qo’shimcha koddai 4 bitli razryaddagi ifodasini toping

Yechim.: +2₁₀=0010₂ dan boshlang. -2₁₀ chiqishi uchun bitlarni invertlash va 1 qo’shis kerak. 0010₂ invertlangan dan keiyin 1101₂ bo’ladi .1101₂ +1=1110₂ .

Demak, -2₁₀ 1110₂ teng.

Sanoq tizimlari bilan turli arifmetik amallarni bajarish mumkin. Ikkilik sanoq tizimida qo'shish, ayirish va ko'paytirish amali quyidagicha bajariladi:

Qo'shish	Ayirish	Ko'paytirish
0+0=0	0-0=0	0*0=0
0+1=1	1-0=1	0*1=0
1+0=1	1-1=0	1*0=0
1+1=10	10-1=1	1*1=1

Ikkita sonni qo'shish jadval yordamida bajariladi va qo'shish amali doimo kichik razryadlardan boshlanadi.

Masalan: 1101,01

+ 11,11

10001,00

Ikkilik sanoq tizimida ayirish amali xuddi o'nlik sanoq tizimidagidek bajariladi. Kamayuvchi son ayiriluvchidan kichik bo'lsa, u holda katta razryaddan qarz olinadi. Qarz olingan bir ushbu razryadning ikkita biriga tengdir.

Masalan: 11001,01 Tekshiramiz:

- 11,10 10101,11

10101,11 + 11,10

11001,01

Ikkilik sanoq tizimida ko'paytirish amalini ko'p marotaba qo'shish, bo'lish amalini esa ko'p marotaba ayirishdek qarash mumkin. 16 tilik sanoq tizimida qo'shish va ayirish amallari quyidagi jadval yordamida bajariladi.

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	А	В