Аксарият масалаларни ечиш икки босқичдан иборат бўлади

4-misol. yarim parabolalar oilasining differensial tenglamasi topilsin.
Yechilishi. Misolda bо`lgani uchun (1.39) ga kо`ra

sistemaga ega bо`lamiz. Sistemaning birinchi tenglamasidan ni topib uni sistemaning ikkinchi tenglamasiga qо`ysak

berilgan yarim parabolalar oilasining differensial tenglamasi hosil bо`ladi.
5-misol. aylanalar oilasining differensial tenglamasi topilsin.
Yechilishi. Misolda bо`lganligi sababli
bо`lib (1.40) sistema

kо`rinishga ega bо`ladi. Bu sistemaning ikkinchi tenglamasidan berilgan aylanalar oilasining differensial teglamasiga ega bо`lamiz.

2-ma`ruza. 1.6. Birinchi tartibli differensial teglamalar uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi
Birinchi tartibli differensial tenglamaning berilgan boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi.
boshlang`ich shartning berilishi izlanayotgan xususiy yechimga mos integral egri chiziq boshlang`ich nuqtadan о`tishini anglatadi. Koshi masalasini yechish integral egri chiziqlar oilasidan belilgan nuqtadan о`tadiganini tanlab olish demakdir. Koshi masalasi har doim ham yechimga egami degan savolga quyidagi teorema javob beradi.
Pikar teoremasi (Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqida). Agar funksiya va uning xususiy hosilasi boshlang`ich nuqtani о`z ichiga olgan biror D sohada uzluksiz bо`lsa, u holda differensial tenglamaning da shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjuddir.
Bu teoremaga binoan uni shartlari bajariladigan har bir nuqta orqali differensial teglamaning yagona integral egri chizig`i о`tadi.
funksiya va ning kо`phadi bо`lganida u Pikar teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun bu holda tekislikning istalgan boshlang`ich nuqta orqali differensial tenglamaning bitta integral egri chizig`i о`tadi.
Shuningdek funksiyalar ning uzluksiz funksiyalari bо`lganda chiziqli tenglamaning ham boshlang`ich nuqta orqali yagona integral egri chizig`i о`tadi.
Teoremaning shartlari buzilgan nuqtalar differensial tenglamaning maxsus nuqtalari deyiladi. Maxsus nuqtalar orqali differensial tenglamaning yo birorta ham integral egri chizig`i о`tmaydi yoki bir nechta integral egri chiziqlari о`tadi. Masalan, tenglama umumiy yechimga ega, bu integral egri chiziqlar oilasi koordinatalar boshidan о`tuvchi tо`g`ri chiziqlar dastasidir.
da teoremaning sharti buziladi, ya`ni funksiya da aniqlanmagan. Demak о`qning nuqtalari berilgan tenglamaning maxsus nuqtalari. tekislikning о`qda yotmagan istalgan nuqtasida teoremmaning sharti bajarilganligi uchun bu nuqtalar orqali oilaning faqat birgina tо`g`ri chizig`i о`tadi. Teoremaning sharti buzilgan о`qning nuqtasi orqali cheksiz kо`p integral tо`g`ri chiziqlar о`tadi, о`qning boshqa nuqtalari orqali tenglamaning birorta ham integral tо`g`ri chizig`i о`tmaydi.
differensial tenglamaning grafigi uning maxsus nuqtasidan о`tadigan yechimlari tenglamaning maxsus yechimlari deyiladi. Bu differensial tenglama xususiy hosila cheksizlikka aylanadigan nuqtalardagina maxsus yechimlarga ega bо`lishi mumkin. Differensial tenglamaning maxsus yechimini uning umumiy yechimidan ixtiyoriy о`zgarmasning hech bir qiymatida hosil qilib bо`lmaydi.
Biz kelgusida differensial tenglamaning maxsus yechimini topish bilan shug`ullanmaymiz.