Ҳабибуллаев Иброҳим, Утанов Бунёд

 0 ,

u₂^ 


a₂

2

2
x  x^*

 0,

 ²u
 ^^a1  0 ^,
 ²u
 ^^a2  0

1
x ²
( x₁  x )
* 2

x ²
( x₂  x )
* 2

2
га эга бўламиз, яъни фойдалилик функциясининг 1ва 2-хоссалари

бажарилади. 3-хосса бажарилмайди, чунки тартибли хусусий ҳосилалари нолга тенг.
u( x₁ , x₂ )
функциянинг иккинчи

2. 
   Истеъмол танлови масаласи, унинг ечими ва хоссалари Истеъмол танлови масаласи (истеъмолчининг бозордаги рационал
   

1

2
хатти-ҳаракати масаласи) истеъмолчининг фойдалилик функциясига

берилган бюджет чекловида максимал қиймат берувчи тўпламини танлашдан иборат.
( x ⁰ ,
x ⁰ )
истеъмол

Бюджет чеклови маҳсулотларга пул харажатлари пул даромадидан

ошмаслигини, яъни
p₁ x₁ 
p₂ x₂  I
эканлигини англатади, бу ерда
p₁ ^ва

p₂ — мос равишда биринчи ва иккинчи маҳсулотлар бир бирлигининг бозор

нархлари, I эса —истеъмолчининг биринчи ва иккинчи маҳсулотларни

сотиб олиш учун сарфлашга тайёр бўлган даромади. катталиклар берилган бўлади.
p₁ ^,
p₂ ^ва I

Формал равишда истеъмол танлови масаласи қуйидаги кўринишга эга:

p₁ x₁ 
p₂ x₂
 I ^,

шартларда
x₁  0 ,
x₂  0

u( x₁ , x₂ )
(max).

Истеъмол танлови масаласининг ечими бўлувчи
( x ⁰ ,
x ⁰ )
тўпламни

2

1
истеъмолчи учун оптимал ечим ёки истеъмолчининг локал бозор мувозанати деб аташ қабул қилинган.
Ушбу қўйилишда истеъмол танлови масаласини ечиш Чизиқсиз

программалаш масаласига олиб келади. Бироқ, агар бирор-бир
( x₁ ,
x₂ )

истеъмол тўпламида
p₁ x₁ 
p₂ x₂  I
бюджет чеклови қатъий тенгсизлик

кўринишда бажарилса, у ҳолда биз маҳсулотлардан бирининг истеъмолини ва шу тариқа фойдалилик функциясини кўпайтиришимиз мумкин. Демак,



I
фойдалилик функциясига максимал қиймат берувчи
( x ⁰ ,
x ⁰ )
тўплам

1

2

x



p

0

2

x
бюджет чекловини тенгликка айлантириши, яъни p_{1 1 2}
керак.
⁰ бўлиши

Биз, шунингдек,
( x ⁰ ,
x ⁰ )
оптимал нуқтада
x₁  0 ,
x₂  0
шартлар

1

2
u( x₁ , x₂ )
функциянинг хоссаларидан келиб чиқиб автоматик равишда

бажарилади деб ҳисоблаймиз. Одатда, бу ҳақиқатан ҳам шундай. Айни бир пайтда, агар ўзгарувчиларнинг номанфийлиги шартлари масала шартига ошкор ҳолда қўшилмаса, у ҳолда ушбу масала математик жиҳатдан анча содда ҳолга келади.
Демак, истеъмол танлови масаласини

шартда
p₁ x₁ 
p₂ x₂  I

u( x₁ , x₂ )
(max)

кўринишдаги шартли экстремумни топиш масаласи билан алмаштириш

1
мумкин (чунки бу икки масаланинг ( x ⁰ ,
x ⁰ )
ечими бир хил).

2
Бу шартли экстремумни топиш масаласини ечиш учун Лагранж усулидан фойдаланамиз.

L( x₁ , x ₂ ,  )
 u( x₁ , x₂ )   ( p₁ x₁ 
p₂ x ₂

• 
  I )
  

Лагранж функциясини ёзиб, унинг
x₁ ,
x₂ , ^ ўзгарувчилар бўйича биринчи

тартибли хусусий ҳосилаларини топамиз ва уларни нолга тенглаймиз:

1

2
^L  u^    p
 0 ,
^L  u^
   p
 0 ,

x₁
1 _x 2 2

^L  p x  p x
 I  0 ^.

_ 1 1 2 2

Ҳосил қилинган уч номаълумли учта тенгламалар системасидан 

номаълумни йўқотиб, икки
x₁ , x₂
номаълумли

1
u₁^ _ p _,
u₂^ p₂

p₁ x₁ 
p₂ x₂
 I ^,

иккита тенгламалар системасини ҳосил қиламиз ва ундан истеъмол

1
танлови масаласининг ( x ⁰ ,
x ⁰ )
ечимини топамиз.

2
Истеъмол танлови масаласи
( x ⁰ ,
x ⁰ )
ечимининг
0 _ва 0

1

2

x

1

2

x
координаталари
p₁ ,
p₂ ва I параметрларнинг функцияларидир:

x ⁰  x ⁰ ( p , p
, I ) ,

1 1 1 2

x ⁰  x ⁰ ( p , p
, I ) .

2 2 1 2
Ҳосил қилинган функциялар биринчи ва иккинчи маҳсулотга талаб функциялари деб аталади. Талаб функцияларининг муҳим хоссаси нархлар ва даромадга нисбатан уларнинг нолинчи даражадаги бир жинслилигидир, яъни талаб функцияларининг қийматлари нархлар ва даромаднинг пропорционал
ўзгаришига нисбатан инвариантдир: ихтиёрий   0 сон учун

x ⁰ ( p , p , I )  x⁰ ( p , p
, I ) ,

1 1 2 1 1 2

x⁰ ( p , p , I )  x ⁰ ( p , p
, I )

2 1 2 2 1 2
ўринлидир. Бу барча нархлар ва даромад айнан бир хил бирликка (мартага) ўзгарса ҳам, (биринчиси ёки иккинчиси — фарқи йўқ) маҳсулотга талаб катталиги ўзгармаслигини англатади.
Иккита товарли битта содда истеъмол танлови масаласини ечайлик.

Товарларнинг номаълум миқдорлари
x₁ ва x₂
га, уларнинг бозор нархлари

эса мос равишда
p₁ ва
p₂ га тенг бўлсин. Қаралаётган масала

u( x₁ , x₂ ) 
x₁  x₂
(max) (9.2.1)

p₁ x₁ 
p₂ x₂
 I , (9.2.2)

кўринишда бўлади.
x₁  0 ^,
x₂  0
(9.2.3)

Биз аниқлаганимиздек, оптимал нуқтада бюджет чеклови тенглик кўринишида бажарилиши керак, бинобарин, иккала товар ўта зарур бўлгани учун (агар улардан бири йўқ бўлса, фойдалилик нолга тенг бўлади) ўзгарувчиларнинг номанфийлиги шартлари автоматик равишда бажарилади. Демак, ечилаётган математик программалаш масаласи шартли экстремумни топишнинг классик масаласига айланади. Экстремумнинг зарурий шартларини ёзиб (уларга асосан товарлар лимит фойдалиликларининг нисбатлари уларнинг бозор нархлари нисбатларига тенг бўлиши керак, бюджет чеклови эса тенглик кўринишида бажарилади),

1
x_{2 } p _,
x₁ p₂
p₁ x₁  p₂ x₂  I
тенгламалар системасини ҳосил қиламиз.
Бундаги биринчи шарт қаралаётган масалада иккала товарга

сарфланадиган пул миқдорлари бир хил, яъни
x₂  p₂
 x₁  p₁
бўлиши

кераклигини англатади. Бу фойдалилик функциясида
x₁ ва x₂

ўзгарувчиларнинг «вазнлари» ёки даража кўрсаткичлари тенглигидан келиб

I

чиқади. Демак, x₂  p₂  x₁  p₁  ₂ ва талаб функциялари

1

2
x  ^I ;
x  ^I

(9.2.4)

кўринишни олади.
¹ 2  p
² 2  p

Шундай қилиб, ҳар бир товарга сарф-харажат истеъмолчи умумий даромадининг ярмини ташкил этади ва ҳар бир товарнинг зарурий миқдорини топиш учун шу товарга сарфланадиган маблағни унинг нархига бўлиш лозим.

3. 
   Товарлар бир-бирининг ўрнини босиши. Компенсация самаралари
   

Агар талаб функцияси x  ^I кўринишда бўлса, у ҳолда i-нчи

i
ⁱ np

товарга талаб ихтиёрий j-нчи товар нархига боғлиқ эмас. Умуман олганда, нархларнинг кесишувчи талаб функциялари товарларнинг бир-бирининг ўрнини босиш ва бир-бирини тўлдириш каби хоссаларини тавсифлайди. Агар i-нчи товарнинг нархи ошиб, унга талаб камайганда j-нчи товарга талаб ошса, бу товарлар бир-бирининг ўрнини босади. Аксинча, агар j- нчи товарга талаб ҳам камайса, улар бир-бирини тўлдиради.
Таъкидлаш жоизки, ҳақиқатдаги бир-бирининг ўрнини босиш i-нчи товарнинг нархи ўсганда фаровонликнинг умумий пасайиши туфайли бузилиши мумкин: истеъмолда j-нчи товар i-нчи товарнинг ўрнини босиши мумкин, лекин унга талаб ошмаслиги мумкин, чунки истеъмолчининг умумий фаровонлиги пасайган. Бу бузилишни йўқотиш учун нархнинг компенсацияланган ўзгариши, яъни истеъмолчига фаровонлигининг аввалги даражасини ушлаб туришга имкон берувчи даромадининг ошишини тақозо қилувчи ўзгариши тушунчасидан фойдаланилади.
Компенсация самараларини формал равишда таҳлил қилиш учун иккита масалани кўриб чиқайлик.

Аввал (9.2.1) – (9.2.3) масалани товарларнинг
p₁  10 ,
p₂  2

нархлари ва истеъмолчининг
I  60
даромади билан ечамиз. У ҳолда (9.2.4)

формулага асосан,

x₁ 
60

2 10

 3 ^,
x₂ 
60

2  2

 15 ^{ва u( x1}
, x₂
)  45

бўлади.

Энди
p₂ 2 пул бирлигидан 7 пул бирлигига ўзгарсин.

Компенсациянинг зарурий миқдори қандай? Истеъмолчига аввалги оптимал

тўпламни харид қилиш учун қўшимча
(7  2) 15 75
пул бирлиги зарур.

Бироқ истеъмолнинг аввалги таркиби янги нархларда оптимал бўлмайди, чунки бу ҳолда

x₁ 
60  75 _{ 6,75,}
2 10
x₂ 
60  75 _{ 9,64}
2  7
ва u( x₁
, x₂
)  65

бўлади.

Истеъмолчининг фаровонлигини аввалги даражасини ушлаб туриши учун унга қўшимча M пул бирлиги берилсин. У ҳолда янги нархларда унинг

биринчи ва иккинчи товарга бўлган талаби мос равишда
x₁ 
60  M _ва
2 10

x₂ 
60  M
2  7

га тенг бўлади.

x₁  x₂

мақсад функцияси

(60  M )²
10 7  4

га тенг

бўлиб, бу ифода бошланғич
u( x₁ , x₂ )  45
қийматга тенг бўлиши керак. Бу

^ердан M

 52,25

келиб чиқади, бу эса 75 дан анча кам.

3.