Абдукаримов А. Чизиқли ва векторлар алгебраси

11-мисол. 
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг: 














11
3
3
2
4
4
9
2
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
. 

---

Ечиш.
Гаусс усули берилган тенгламалар тизимидаги номаълумларни кетма-кет 
йўқотишдан иборатдир. Бу усулни қўллаш осон бўлиши учун 1-чи ва 2-чи тенгламаларнинг ўрнини 
алмаштирамиз.













11
3
3
2
9
2
3
4
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x
. 
Энди 2-чи ва 3-чи тенгламалардан 
х
ни йўқотамиз. Бунинг учун биринчи тенгламани 3га 
кўпайтириб, иккинчи тенгламадан, 2 га кўпайтириб, 3-чи тенгламадан айирамиз ва қуйидагига эга 
бўламиз:















3
11
3
13
4
4
z
y
z
y
z
y
x
. 
2-чи тенгламага 3-чи тенгламани қўшиб, 3-чи тенгламадан 
z 
ни йўқотамиз: 














0
24
3
13
4
4
y
z
y
z
y
x
. 
Охирги тенгламадан 
0

у
эканлиги келиб чиқади. Бу қийматни 2-чи тенгламага қўйиб 
z
ни 
аниқлаймиз. Топилган 
y 
ва 
z
ни 1-чи тенгламага қўйиб топамиз. 
z
= 3, 
х
= 1.
Шундай қилиб, 
х
= 1, 
у
= 0, 
z
= 3. 
2. Крамер усули 
 
Ноъмалумлар сони тенгламалар сонига тенг бўлган қуйидаги чизиқли тенгламалар тизимини 
қарайлик: 



















n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
(3) 
Элементлари номаълумлар олдидаги коэффициентлардан иборат 

детерминатни 
асосий 
детерминант
деб атаймиз.


nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
, (4) 
детерминантда 
x
j
номаълумлар олдидаги коэффициентлардан тузилган устунни озод ҳадлардан 
иборат устун билан алмаштиришдан ҳосил бўлган детерминантни 
j
x

билан белгилаймиз. 
У ҳолда:Агар 

0

бўлса, (3) тизим қуйидаги формулалар билан аниқланувчи ягона ечимга 
эга: 









n
x
n
x
x
x
x
x
,...,
,
2
1
2
1
. 
1)
Агар 

=
j
x

=0 бўлса, тизим чексиз кўп ечимга эга. 
2)
Агар 

= 0, ва 
j
x

лардан ҳеч бўлмаганда биттаси нолдан фарқли бўлса, тизим ечимга 
эга эмас. 
12-мисол.
Тенгламалар тизимини Крамер усулида ечинг:













6
4
3
2
1
2
2
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x

---

Ечиш. 
Асосий детерминантни ҳисоблаймиз: 
,
0
9
4
3
2
2
1
1
1
1
4







демак, тенгламалар тизими ягона ечимга эга.
Δ
х
, Δ
у
и Δ
z
– ларни топамиз. 
.
18
6
3
2
1
1
1
2
1
4
,
36
4
6
2
2
1
1
1
2
4
,
9
4
3
6
2
1
1
1
1
2















z
y
x
Бундан
.
2
9
18
,
4
9
36
,
1
9
9
















z
z
y
x
y
x
3. Чизиқли тенгламалар тизимини тескари матрица ёрдамида ечиш.
 
Чизиқли тенгламалар тизими (3)-ни қарайлик ва қуйидагича белгилашлар киритайлик: 













nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
- тизимнинг матрицаси, 













n
x
x
x
X
...
2
1
- номаълумлар устуни, 













n
b
b
b
B
...
2
1
- озод ҳадлар устуни. У ҳолда (3) тизимни матрицавий тенглама кўринишида 
қуйидагича ѐзиш мумкин:
АХ = В
. (5) 
 
Фараз қилайлик
А
- хосмас матрица бўлсин, у ҳолда унга тескари 
1

A
матрица мавжуд 
бўлади. (5) тенгламанинг ҳар икки томонини 
1

A
га чапдан кўпайтирайлик.
.
1
1
B
A
AX
A



Маълумки 
,
1
E
A
A


у ҳолда 
B
A
EX
1


, 
X
EX

эканлигидан 
.
1
B
A
X


Шундай қилиб, (5) – матрицавий тенгламанинг ечими, 
А
матрицага тескари матрицанинг 
(3) тизимнинг озод ҳадларидан иборат устун матрицага кўпайтмасига тенг экан.
13-мисол.
Тенгламалар тизимини тескари матрица ѐрдамида ечинг.













4
7
4
5
6
2
1
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Ечиш. 
Тизимнинг матрицасини тузамиз.















7
4
5
1
1
2
1
3
1
А
Δ
А
= -51 ≠ 0, демак, тенгламалар тизими ягона ечимга эга.
А
-1
матрицани топамиз: 

---

7
11
13
3
12
9
2
25
11
33
23
13
32
22
12
31
21
11














А
А
А
А
А
А
А
А
А
У холда 


















7
11
13
3
12
9
2
25
11
51
1
1
А
. 
Агар 






















z
y
x
Х
В
,
4
6
1
„эканлигини эътиборга олсак, берилган тенгламалар тизими ечими 
Х = 
А
-1
В
бўлган 
АХ = В
матрицавий тенгламага айланади.
Шундай қилиб, 
,
1
1
3
51
51
153
51
1
28
66
13
12
72
9
8
150
11
51
1
4
6
1
7
11
13
3
12
9
2
25
11
51
1









































































Х
яъни 
х
= 3, 
у
= 1, 
z
= 1. 
 
 
 
 
 
Чизиқли алгебра бўлимидан топшириқ вариантлари 
Вариант № 1 

---

1.
Детерминантни ҳисобланг:
8
1
9
0
6
1 4
1
.
0
1
0
1
1
1 2
2



2.
3
0
4
2
2
3
1
1
2
A




 







ва 
1 1
2
0
1
2
5
3
1
B













матрицалар учун 
А
ВА
А
3
2


матрицали 
кўпҳадни ҳисобланг. 
3.










1
7
-
4
1
5
-
3
3
1
-
1
матрицага тескари матрицани топинг. 
4.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг: 
2
2
5
4
10
11.
5
3
5
9
x
y
z
x
y
z
x
y
z





 







5.
Тенгламалар тизимини матрицалар усулида ечинг: 
 
2
2
5
4
10
11.
5
3
5
9
x
y
z
x
y
z
x
y
z





 








---

Вариант № 2 
1.
Детерминантни ҳисобланг:
1
2
3
4
2
2
3
4
.
3
3
3
4
4
4
4
4
2.
1
0
1
2
1 2
1
1 2
A




 








ва 
7 1
3
5
1
2
0
1
4
B






 





матрицалар учун
В
2
+ 
ВА
+2А матрицали кўп 
ҳадни ҳисобланг 
3.
4.










25
2
3
12
-
1
2
46
-
5
8
матрицага тескари матрицани топинг. 
5.
Тенгламалар тизимини матрицалар усулида ечинг:
3
4
4
2
10
15
10
.
2
3
6
7
3
4
2
4
x
z
t
x
y
z
t
y
z
t
x
y
z
t


 


 










 


6.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг: 

























1
2
3
2
2
2
3
3
2
1
2
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

---

Вариант № 3 
1.
Детерминантни ҳисобланг:
1 1 4
1
2 1 3
0
.
3 1 2
1
4 1 1
0
2.
4
1
2
2
0
2
3
1 2
A




 







ва 
1
0
3
1
2
4
1
2
4
B














матрицаларучун 
А
ВА
А


2
2
матрицавий 
кўпҳадни ҳисобланг
3.
3
1
6
2
3
6 .
5
1
27











матрицага тескари матрицани топинг. 
4.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг:
2
5
6
3
2
3
2
4
10
3
0
x
y
t
x
y
z
x
y
z
t
y
z
t
  



 

    


   

. 
5.
Тенгламалар тизимини матрица усулида ечинг:
3
2
3
3 .
2
3
0
x
y
x
y
z
x
y
z
 


 


   


---

Вариант № 4 
1.
Детерминантни ҳисобланг:
2 1
1
1 1
1
3 1
1 1
.
1
1
4 1 1
1
1
1
5 1
1
1
1
1 6
2.
0
1
2
3
1
2
3 3 2
A




 






ва 
1
3
0
2
2
4
3
1
1
B




 






матрицалар учун 2
А
2
+ 
ВА
+ 3
А
матрицали кўпҳадни 
ҳисобланг. 
3.
5
3 14
4
2
13 .
3
5
26











матрицага тескари матрицани ҳисобланг. 
4.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг:
4
4
5
2
3
2
7 .
10
20
x
y
z
x
y
z
x
y
z


 



 

  


5.
Тенгламалар тизимини матрицалар усулида ечинг: 
3
4
2
1 .
4
3
7
x
y
z
x
y
z
x
y
z

 

   

   


---

Вариант № 5 
1.
Детерминантни ҳисобланг:
3
1 4
2
5
2
0
1
.
0
2
1
3
6
2
9
8



2.
3
1
0
2
1
3
5
1
2
A





 







ва 
1
0
2
3
1
2
5
4
1
B














матрицалар учун 
А
ВА
В
4
2


матрицали 
кўпҳадни ҳисобланг. 
3.
3
4
27
4
1
35 .
5
2
43












матрицага тескари матрицани ҳисобланг. 
4.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг: 
2
3
4
5
3
1
.
3
8
1
2
4
3
0
x
y
z
t
y
t
x
z
t
x
y
z
t


 


   



  

 

 

5.
Тенгламалар тизимини матрицалар усулида ечинг:

















16
6
5
5
3
2
3
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x