А. А. Самарский, А. В. Гулин

Приведем примеры операторов проектирования.
П р и м е р 3. Пусть 
£%0 — пространство непрерывных функций на [0, 1] и
Gh — равномерная сетка с шагом h:
Gh= { X i = ih, i = 0 , 1, . . . . N, /Й У =1}.
287

---

Тогда в качестве оператора проектирования можно взять оператор вычисления
значения функции в данной точке сетки. Этот оператор определяется следующим
образом:
(phU)(Xi)=u(Xi),  i = 0, 1..........N.
П р и м е р 4. Пусть 
3!а — пространство функций, интегрируемых на [0. 1 ],
и 
Gh — та ж е сетка, что и в предыдущем примере. Тогда в качестве оператора
проектирования можно взять оператор осреднения
х[+а,ьк
x^-o.bh
0,5 
h 
XN
(Ph“) 
W
= ^
j" и 
(x) dx, (phu) (xN) = ^
 
J
и 
(x) dx.
о
X f j -o,sh
В дальнейшем будем требовать, чтобы нормы в 
были 
согла­
сованы
с нормой в исходном пространстве 
38й.
Это означает, что 
для любой и е | , выполняется условие
lim I рды |[д = 1 
и
||0. 
(3)
|А|—
»0
Требование согласования норм обеспечивает единственность 
предела сеточных функций при |/i|-»-0. Действительно, если для 
и, v^< 3a
имеем lim 
\\yh—phu\\h=
0, lim 
Wyh-PhV\\h=Q,
то согласно (3)
[h|-»0 
1Л|—
>0
]|рЛы—рЛи||Л= || (
phu - y h)
+ (
yh- p hv
) ||л< ||рлы—рл||л+
Wyh- p hv l h
и
1“ — u l l o = lim 
\ \ P h ( u — v)\\h = 0 ,
|/i|—
>0
т. е. 
u=v.
П р и м е р 5. Сеточная норма
11»1»=(2 
• 
АЛГ= 1.
согласована с нормой в 
L2
I = [ j I 
У (х) I*dx
Сеточная норма.
' 
N
| 0 И а = ( 2 К Т
. 
hN =
1
не согласована ни с одной из норм для функций непрерывного аргумента, так
<30
как ряд ^ |г / ,|2 может расходиться. Норма
1=0
II 
у
 U = т .ах 
, \
у
А
согласована с нормой в С.
288

---

Пусть 
и(х)
— решение исходной задачи (1) и ул(х) — решение 
разностной задачи (2).
О п р е д е л е н и е 1. Сеточная функция 
zh( x )= y h(x )—phu(x),
x e C i, называется 
погрешностью разностной схемы
(2).
Подставим 
yh(x )=phu(x) + z h(x)
в уравнение (2). Тогда полу­
чим, что погрешность 
zh(x)
удовлетворяет уравнению
U
zk
(
x
) = ^ (
x
), 
X(=Gh,
(4)
где
фд 
(х ) =<р„ 
(х)- L h
(
phu
( х )
) =
фЛ 
(х) —Lhuh
( х ) . 
(5 )
О п р е д е л е н и е 2. Сеточная функция ф,,(х), определенная 
формулой (5), называется 
погрешностью аппроксимации разност­
ной задачи
(2) 
на решении исходной дифференциальной задачи
(
1
).
Преобразуем выражение для фЛ(х). Проектируя уравнение (1) 
на сетку 
Gh,
получим
phL u ( x ) = p hf(x)
или, учитывая принятые обозначения,
(Lu)h(x ) =f h(x).
Из (5) и (6) получаем
фь 
(х)
= [ 
(Lu)
Л (х) 
— 
Lhuh
( х )
] +
(ф Л 
(х)
- f h
(х)),
т. е.
где
фь(х)=фм (х) + ф м (х),
Фм 
(х) — (Lu) fi
(х) 
—Lhuh
(х), фл,2=фл (х) 
—fh
(х).
(
6
)
(7)
О п р е д е л е н и е 3. Функции -фЛ1 (х) и фЛ2(х) называются, со­
ответственно, 
погрешностью аппроксимации дифференциального
оператора L разностным оператором Lh
и 
погрешностью аппрокси­
мации правой части.
О п р е д е л е н и е 4. Говорят, что разностная задача (2) 
ап­
проксимирует
исходную задачу (1), если lli^lU—>-0 при |/i|->-0. Раз­
ностная схема имеет 
k-й порядок аппроксимации,
если существуют 
постоянные 
k>0,
Л4,>0, не зависящие от 
h
и такие, что
Аналогично определяются погрешность аппроксимации и поря­
док погрешности аппроксимации правых частей и дифференциаль­
ного оператора.
З а м е ч а н и е . Мы видели, что погрешность аппроксимации 
на 
решении
представляется в виде суммы погрешностей аппроксимации дифференциального
оператора и правой части. Однако порядок погрешности аппроксимации на реше­
нии ф может оказаться выше, чем порядок погрешности аппроксимации операто­
ра ф, и правой части ф 2 в отдельности. Нетрудно, например, показать, что раз­