А. А. Самарский, А. В. Гулин

t.c
Ути =
У ^ - 2
у
1 + 
у
1-
2т
285

---

Т о г д а у р а в н е н и е ( 1 5 ) м о ж н о п е р е п и с а т ь в в и д е
а t,i
. 
l
а
_ а
Д2 
У tt.i
" 
УхХ.С
Отсюда легко получить, что уравнение (15) аппроксимирует 
исходное дифференциальное уравнение (13) лишь при условии, что 
т2//г2—
при г—>-0, ft—>-0. Погрешность аппроксимации является ве­
личиной 0 ( т 2+ ft2 + T2/ft2)- 
Если 
же 
положить, 
например,
x=ft, то (15) будет аппроксимировать уравнение гиперболическо­
го типа
ди , 
д2и __ д2и
§ 6. Основные понятия теории разностных схем:
аппроксимация, сходимость, устойчивость
1. 
Введение. 
Ранее мы уже встречались с перечисленными в за­
главии понятиями 
в 
связи с самыми различными примерами раз­
ностных схем для конкретных дифференциальных уравнений. В на­
стоящем параграфе дается изложение основных понятий теории 
разностных схем и выясняется связь между ними для линейных 
разностных схем самого общего вида, безотносительно к конкрет­
ной структуре исходного дифференциального уравнения и ап­
проксимирующей его разностной схемы.
Пусть дана исходная дифференциальная задача, которую мы 
запишем в виде
Lu( x) =f {x),
(1)
где x e G , 
G
— область m-мерного пространства, /(х) — заданная 
функция, L — линейный дифференциальный оператор. Предпола­
гается, что дополнительные условия (типа начальных и граничных 
условий) учтены оператором 
L
и правой частью /.
В качестве простейшего примера задачи (1) читатель может 
рассмотреть первую краевую задачу 
—u"( x) =f (x), 0< х< 1, и{
0) =
=и
(1) =0, хотя в общем случае уравнение (1) может быть много­
мерным, в том числе и нестационарным уравнением. Существенно 
в дальнейшем лишь требование линейности оператора 
L.
Для построения разностной схемы прежде всего вводится 
сетка
Gh —
конечное множество точек, принадлежащих 
G,
плотность рас­
пределения которых характеризуется параметром ft — 
шагом сетки.
В общем случае параметр ft —вектор, причем определена |Л) — 
длина вектора ft. Обычно сетка 
Gh
выбирается так, что при 
|f t|—>-0 множество 
Gh
стремится заполнить всю область 
G.
Функ­
ция, определенная в точках сетки