А. А. Самарский, А. В. Гулин

 = 
А (х0)
 —
S А(хД)=А(дг0)>0
х 0)
и можно применять следствие 1.
Теперь мы уже в состоянии сформулировать достаточные усло­
вия однозначной разрешимости задачи (1).
С л е д с т в и е 2. 
Пусть коэффициенты оператора L удовлетво­
ряют условиям
(5) 
при каждом
хе£2 
и условию
(10). 
Тогда зада­
ча
(1) 
имеет единственное решение.
297

---

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ранее отмечалось, что задача (1) пред­
ставляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в ко­
торой число уравнений равно числу неизвестных. Поэтому доста­
точно показать, что однородное уравнение 
Ly{x) =
0, х е Й , имеет 
только тривиальное решение 
у ( х ) =
0. Поскольку условия 
Ь у { х ) ^
Г2:0 и 
Ь у ( х ) ^ .
0 в данном случае выполнены, из следствия 1 за­
ключаем, что в каждой точке х е й одновременно выполняются не­
равенства 
у { х ) ^
0 и 
у ( х ) ^ 0 .
Но это справедливо лишь тогда, 
когда 
у(х)
= 0 на Й.
Предоставляем читателю возможность самостоятельно убе­
диться в том, что разностная схема, аппроксимирующая задачу 
Дирихле для уравнения Пуассона (см. § 1), удовлетворяет всем 
условиям теоремы 1 и ее следствий и тем самым имеет единствен­
ное решение. Для того чтобы доказать непрерывную зависимость 
решения от правой части и от граничных условий, полученной тео­
ремы недостаточно. Докажем еще несколько утверждений, следую­
щих из принципа максимума.
3. Теорема сравнения. Устойчивость по граничным условиям.
Наряду с задачей (4) рассмотрим задачу
L Y ( x ) — F(x), 
x ^ i Q ,
(11)
отличающуюся от (4) правой частью.
Т е о р е м а 2 ( т е о р е м а с р а в н е н и я ) .
Пусть при всех
х е й
выполнены условия положительности коэффициентов
(5) 
и
выполнено условие
(10). 
Тогда, если
| 
F (х)
] 
F (х) для всех
XGQ,
то
| 
у (х)
| sg; У (х) 
для всех
х еЙ .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для функций 
v (х)
= У(х) 
-\-у (х)
и 
w(x) =
= У(х) — 
у(х)
имеем
Lv
(х) =
F
(х) +
F
(х) Уд 
о, 
Lw
(х) =
F
(х) — 
F
(х) 
0.
Согласно следствию 1 имеем 
v ( x ) ^ 0 , w ( x ) ^ 0 ,
т. е.
—У (х )^ г /(х )^ У (х ),
что и требовалось.
Сформулируем первую краевую задачу для уравнения (1). 
Пусть 
у
— множество граничных точек сетки £2, т. е. точек х е й , для 
которых 
Ш ' ( х ) = 0 .
Множество точек сетки Й, не являющихся гра­
ничными, назовем множеством внутренних узлов и обозначим через 
о. Таким образом, Q =
co
|J
y
. В граничном узле 
х ^ у
уравнение (1) 
принимает вид
A ( x ) y ( x ) = F ( x )
или, что то же самое,
г/(х)=ц(х), 
(12)
где 
y ( x ) =F ( x ) / A
(х) — заданная функция. Первая краевая задача 
состоит в том, чтобы найти сеточную функцию 
у(х),
удовлетво­
ряющую уравнению (1) при х е и и условию (12) при 
х ^ у .
Уже
298

---

отмечалось, что при условиях теоремы 1 первая краевая задача 
имеет единственное решение.
Переформулируем теорему сравнения на случай первой крае­
вой задачи.
Рассмотрим две задачи:
Ly(x) = F
(х), 
г/(х) = р(х), х е у ,
(13)
LY (х)
=
F (х),
х ^ ш; 
Y (х)
= р (х), 
х
ЕЕ 
у.
(14)
Если при
х
е
ш
выполнены условия
(5) 
и
| 
F ( x ) \ ^ F ( x ) ,
х ^ ш , | р (х) | С р (х), 
х с ^ у ,
то
| 
у (х)
1 ^ У 
(х) при всех
x e Q .
Функция 
Y{x),
фигурирующая в теореме сравнения, называется 
мажорантной функцией
для решения 
у(х)
задачи (4). Для полу­
чения оценки решения 
у(х)
обычно строят вспомогательную зада­
чу (11) или (14) так, чтобы можно было легко найти ее решение 
У(х) и затем применяют теорему сравнения.
Теорема сравнения позволяет легко доказать устойчивость ре­
шения первой краевой задачи по граничным условиям. Рассмотрим 
однородное уравнение (13) с неоднородным граничным условием
L y ( x ) =
 0, 
х
е
ш
;
у (х )= р (х ), 
х
е
- [ .
(15)
С л е д с т в и е 3 
( у с т о й ч и в о с т ь по г р а н и ч н ы м у с ­
л о в и я м ) .
Пусть при
х е ш
выполнены условия
(5). 
Тогда для
решения задачи
(15) 
справедлива оценка
шах | 
у (х)
 | -< шах | р (х) |. 
(16)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Наряду с задачей (15) рассмотрим за­
дачу
LY {x) =
 0, х еш ; 
У(х)=сс, х е у , 
(17)
где а = max | р (х) | . Все условия теоремы сравнения выполнены,
поэтому 
\у(х)
| ^ У ( х ) .
Далее, для функции 
и ( х ) = а —
У(х) имеем
Lv
(х) 
= L a —LY
(х) 
—La=D ( х ) а ^ О
и и (х)= 0 при х е ш и, согласно следствию 1, получим н ( х ) ^ 0 , т. е. 
У(х) 
Но тогда при всех х е Й имеем 
\у(х)
| ^ У ( х ) ^Га, откуда 
и следует (16).
4. Примеры. Приведем несколько простых примеров.