А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 2. Принцип максимума для разностных схем.
Основные теоремы
1. Исходные предположения. В предыдущем параграфе на при­
мере уравнения Пуассона была введена каноническая форма за­
писи разностной схемы
А(х)д{х)= 
2
В(хЛ)У(1) 
+ F
(х), 
г е й .
(1)
Поясним теперь, как следует понимать уравнение (1) в общем 
случае. Пусть 
в 
л-мерном евклидовом пространстве задано конеч­
ное множество точек — сетка £2. Каждой точке г е й сопоставим 
один и только один шаблон 
Ш(х)
— любое подмножество £2, со­
держащее данную точку х. Окрестностью точки х назовем множе­
ство 
Ш' (х)=Ш { х ) \ { х } .
Заметим, что 
Ш'(х)
может быть и пустым 
множеством. Пусть заданы функции Л(х), 
В(х,%)< F{x),
опреде­
ленные при любых х е Й , 
и принимающие вещественные зна­
чения. Далее, каждой точке х е й соотносится одно и только одно 
уравнение вида (1), в котором 
у(х)
— искомая сеточная функция. 
В результате получаем систему линейных алгебраических уравне­
ний с числом уравнений, равным числу неизвестных. Эту систему 
уравнении и будем называть разностной схемой.
294

---

Введем понятие связной сетки. Сетку й будем называть 
связ­
ной
сеткой, если для любых двух ее узлов 
х 0, х'д
таких, что по край­
ней мере один из узлов имеет непустую окрестность, существует та­
кое множество узлов 
i = l , 2, ...
. . . ,
т,
что 
x ^ I I I ' i x o ) , хг^ Ш ' ( х
i), ...
. . . , xmeZZ/'(jcm- i ) , 
Xo
' e f f l ' t ) , т. е. 
каждый последующий узел принадле­
жит окрестности предыдущего. Анало­
гичным образом определяется понятие 
связности любого подмножества из й.
Наглядный смысл требования связно­
сти состоит в том, чтобы от любого узла 
х0е й можно было перейти к любому 
другому узлу х^ЕЙ, пользуясь только 
заданными шаблонами.
На рис. 13 изображен пример се­
точной области, не являющейся связ- 
Рис- 13-