А. А. Самарский, А. В. Гулин

2. Канонический вид разностного уравнения. 
Для дальнейшего 
исследования удобно записать уравнение (3) в виде, разрешенном 
относительно 
уц,
а точнее в виде
Р и с . 1 2 . П р я м о у г о л ь н а я с е т к а
2
^ 
2
ft? 
hi
Уч
Ус+и'
4
У
1
—
1
,/
К
+
у
 и
-1
/о-
(5 )
Обозначим через х точку 
Хц
— центральную точку шаблона, на ко­
тором аппроксимируется уравнение (1), а через 
Ш{х) —
весь этот 
шаблон, т. е. совокупность пяти точек 
Хц, xi±u, x iJ±l.
Назовем 
окрестностью точки х
и обозначим через 
Ш' (х
) все точки шаблона 
Ш(х)
за исключением точки 
х,
т. е. 
Ш'(х)
— это четыре точки 
x i±ijf Xij±l.
Тогда уравнение (5) можно записать в виде
А ( х ) у ( х ) =
2
В(х,Ъ)У (Ъ) +
F(x),
 
(6)
1<=Д/'М
где коэффициенты 
А(х), В(х,Ъ,)
и правая часть 
F(x)
определены 
следующим образом:
А (х)
— — +
hi
— , 
В 
(х, Xi±ltl)
— —
hi 
hi
(7)
В (х, Xij±i)
= — , 
F(x) = f (хц).
hl
Обратим внимание на свойства этих коэффициентов: 
А ( х ) >
0, 
В(х,
 
|) > 0 ,
А (х)
= 2
В (х,
Запись разностного уравнения
в виде (6) называется 
канонической формой разностного уравне­
293

---

ния.
Она применима не только к уравнению (5), но и к любому 
линейному разностному уравнению. Разумеется, в каждом кон­
кретном случае необходимо задать множества 
Ш'(х)
и определить 
коэффициенты 
А(х), В(х,Ъ,)
и правою часть 
F(x).
Уравнение (6) определено при х еш , т. е. только во внутренних 
точках сетки Q. Поэтому к нему требуется добавить еще гранич­
ные условия (4). Заметим, однако, что если при х е ^ считать 
Ш'{х)
пустым множеством, то уравнение (6) принимает вид 
А(х) у(х) = F ( x ) ,
х е у , и представляет собой запись граничных ус­
ловий г/(х) = ц(х) при xe-f, причем 
F{x)=A
(х)р,(х).
Итак, разностную схему (3), (4) можно записать в виде систе­
мы уравнений (6), где х пробегает все множество 
Q.
Во всех внут­
ренних точках х е ш выполняются условия
Л (х )> 0 , 
В(х,
| ) > 0 для всех £e/ZT(x), 
(8)
Л (х )= 2
В(хЛ).
В граничных точках х е у имеем 
Ш'
(х) — пустое множество и 
А
(х ) >0.
В следующем параграфе изучаются свойства общей разностной 
схемы (6) безотносительно к конкретному виду ее коэффициентов, 
важно лишь, чтобы выполнялись условия, аналогичные (8). Полу­
ченные выводы окажется возможным применить не только к раз­
ностной схеме (3), (4), но и к более широким классам разностных 
схем.