А. А. Самарский, А. В. Гулин

i ^ + i!fL = o, 
x
G G ;
и(х) = ц(х), г е Г .
(2)
дх® 
д х
®
Одним из основных свойств задачи (2) является выполнение прин­
ципа максимума: непрерывное 
в 
G
и отличное от константы реше­
ние 
и{ х, ,х2)
может достигать своего максимального по модулю 
значения только на границе Г. Отсюда следует, что справедлива 
оценка
шах | 
и (х1г х2)
| ^ шах | р (хь 
х2)
| , 
G—G
(JT,
означающая устойчивость задачи (2) по граничным данным. В сле­
дующих параграфах аналогичные оценки будут получены и д^я 
некоторых разностных схем, аппроксимирующих уравнение (2). 
Эти оценки помогут установить сходимость разностной схемы для 
уравнения Пуассона (1).
Введем в 
G
прямоугольную сетку О с шагами 
h
, по направле­
нию х, и 
h2
— по направлению 
х2,
так что 
hi = lJNi, h2 = l2iN2,
где 
Ni
и 
N 2
— целые числа. Обозначим 
xil = ih1, x'2 =j h2.
Сетка
Q состоит из совокупности узлов 
Хц=
(x‘, 
х0,
t=0, 1, . . . , 
N u
/ =
=0, 1,.. . , 
М2.
Для функций 
у,
определенных на й, обозначим
Уц =У(хц), У-Х1Хиt j — (yui.i — 2уц
+
Ус-и)/#,
Ух л ,ц = (Уип ~ 2Уч
+
Уи-iVhl
Задаче Дирихле (1) сопоставим следующую разностную схему:
У x 2Xi , i i
 
/ч*
i 
=
1, 2, . . . .
/ = 1 , 2 .........
N 2 -
1,
(3)
V i
,„ = p (x ‘, 0),
У1.