А. А. Самарский, А. В. Гулин

G,
 
называется 
сеточной функ­
цией.
П р и м е р 1. 
На 
отрезке G = [a, 
Ь]
введем произвольную неравномерную
сетку 
Gh, т. е. множество точек
G h = {xi<^[a, b ] \ x 0= a < x l< . . , < x K = b}.
286

---

Обозначим 
h i = X i —X i - u * = 1, 2, • • • . N. Тогда h = ( h t..........h„), | Л | = max hL.
lfSisiA'
(N
\%
Можно определить также | Л | = I ^ /if I .
П р и м е р 2. На плоскости 
(х, t)
рассматривается область G = { 0 < x < l ,
0 < / s £ 7 ' } . Сетка 
Gh состоит 
из точек 
{Х{, /„ ), где 
X i
= ih, i = 0, 1, . . . . N,
hN =  1, tn — nx, n = О, 1 , . . . , K, Кх=Т.  Эта сетка использовалась при аппроксима­
ции уравнения теплопроводности в 
§ 4. 
Здесь можно положить 
|/г| =у/г2+т2, 
либо 17г | =УЛ2 + т.
После введения сетки 
Gh
следует заменить в уравнении (1) 
дифференциальный оператор 
L
разностным оператором 
Lh,
правую 
часть 
f(x)
— сеточной функцией срДх). В результате получим си­
стему разностных уравнений
Lhyh(x)=cfh(x), x<=Gh,
(2)
которая называется 
разностной схемой
или 
разностной задачей.
В отличие от дифференциального уравнения решение разностной 
задачи будем обозначать буквой 
у.
2. 
Погрешность аппроксимации и погрешность схемы. 
Перей­
дем к изложению основных понятий теории разностных схем: ап­
проксимации, корректности (устойчивости) и сходимости. Прежде 
чем давать формальные определения, заметим, что свойство ап­
проксимации означает близость разностного оператора к диффе­
ренциальному. Отсюда еще не следует, вообще говоря, близость 
решений дифференциального и разностного уравнений. Свойство 
устойчивости разностной схемы является ее внутренним свойством, 
не зависящим от того, аппроксимирует ли эта схема какое-либо 
дифференциальное уравнение (см. 130]). Оказывается, однако, что 
если разностная схема аппроксимирует корректно поставленную 
задачу и устойчива, то ее решение сходится при |й|->-0 к решению 
исходной дифференциальной задачи.
Будем считать, что решение 
и(х)
задачи (1) принадлежит ли­
нейному нормированному пространству 
II-Но —норма в Д,. На­
пример, 
=C[a, b],
I 
и
||0 — max 
\и(х)\.
Аналогично считаем,
что сеточные функции г/Л(
jc
) , 
qih(x)
являются элементами линейного 
нормированного пространства 
(
пространства сеточных функ­
ций)
с нормой || - Ik. По существу, имеем семейство линейных нор­
мированных пространств, зависящее от параметра 
h.
Чтобы иметь возможность сравнивать функции из различных 
пространств, вводится 
оператор проектирования ph:
Это,
по определению, линейный оператор, сопоставляющий каждой 
функции из 
некоторую функцию из 
3Sh.
Для функции ! i e ^ 0 
обозначим через 
uh
ее проекцию на пространство 
т. е. 
uh(x) =
=phu(x).