А. А. Самарский, А. В. Гулин

ностное уравнение
ух х . = - ^ '
'Р<=/. + 'Т
2 К
Ю А. А. С ам ар с к и й , А. В . Гулил
ш

---

имеет четвертый порядок аппроксимации на решении дифференциального урав­
нения
хотя дифференциальный оператор и правая часть аппроксимируются лишь со
вторым порядком.
3. 
Корректность разностной схемы. Сходимость. Связь между
устойчивостью и сходимостью. 
По аналогии с дифференциальным 
случаем вводится понятие корректности разностной задачи.
О п р е д е л е н и е 5. Разностная схема (2) называется 
коррект­
ной,
если 1) ее решение существует и единственно при любых пра­
вых частях 
и 2) существует постоянная 
М2~>
0, не завися­
щая от А и такая, что при любых 
справедлива оценка
IlifftlLsS-MJqjJft. 
(8)
Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномер­
ную относительно А, решения разностной задачи от правой части, 
называется 
устойчивостью
разностной схемы. Заметим, что требо­
вание 1) эквивалентно существованию оператора 
Ц
,1, обратного 
оператору 
Lh,
а требование 2) эквивалентно равномерной по 
h
ограниченности оператора 
Щ1.
Основным вопросом теории разностных схем, как впрочем и 
других приближенных методов, является вопрос о сходимости. 
Сформулируем строго понятие сходимости.
О п р е д е л е н и е 6. Решение разностной задачи (2) 
сходится
к решению дифференциальной задачи (1), если при |А |—>-0
\\уи—PhU\\h-+0.
Разностная схема имеет 
k-й порядок точности,
если существу­
ют постоянные £> 0, Л43> 0, не зависящие от А и такие, что
\\Ун—
рАы||/.<Л43|А |\
Часто для краткости просто говорят «разностная схема сходит­
ся», подразумевая сходимость решения разностной задачи к реше­
нию дифференциальной задачи.
Справедлива следующая теорема о связи устойчивости и схо­
димости.
Пусть дифференциальная задача
(1) 
поставлена корректно,
разностная схема
(2) 
является корректной и аппроксимирует ис­
ходную задачу
(1). 
Тогда решение разностной задачи
(2) 
сходится
к решению исходной задачи
(1), 
причем порядок точности совпа­
дает с порядком аппроксимации.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует прямо из определений. Действи­
тельно, уравнение для погрешности (4) имеет ту же структуру, что 
и разностная задача (2). Поэтому из требования корректности сле­
дует оценка
1|2Л||Л^ М 2||фЛ||Л. 
(9)
Поскольку константа Af2 не зависит от А, получаем, что при ЦфЛ!!Л-> 
2 9 0

---

->0 норма погрешности 
zh
также стремится к нулю, т. е. схема схо­
дится. Если ||г|)Ии<АМ/
1
| \ т о из (9) получим
т. е. разностная схема имеет fe-й порядок точности.
Значение приведенной выше теоремы состоит в том, что она 
позволяет разделить изучение сходимости на два отдельных этапа: 
доказательство аппроксимации и доказательство устойчивости. 
Обычно более сложным этапом является исследование устойчиво­
сти, которое состоит в получении оценок вида (8), называемых 
априорными оценками.