А. А. Самарский, А. В. Гулин

. 
т_ 
д2и (х, 0) 
, ^ . 2,
т 
at
 
2
 
dt2 
^
 
1
и учтем, что в силу дифференциального уравнения (1) выполняет­
ся равенство
дга (*, 0) _
д,и (х, 0) _ _ и „ , v
at2 
дх3 
° '
'
Таким образом,
д и ( х , 0 )  
_ 
и(х,  т) — и(х,  0) 
1 
, . Л ,
-
;
J U 0{X) + U(X),
и, следовательно, разностное уравнение
■
= «о(^) + 7 « о Ь ,н
i = l , 2 , . . . . i V - 1 ,
— »?
(
8
)
аппроксимирует второе из условий (3) со вторым порядком по т 
и по 
h.
Совокупность уравнений (4), (5), (7), (8) составляет разност­
ную схему, аппроксимирующую исходную задачу (1) — (3).
Покажем еще один способ получения уравнения (8). Уравнение
у
\ -
у
Т
- ,
----- —------= “о (*;)> 
Ус = У (*,. — т) 
(9)
аппроксимирует уравнение 
ut (0, 
x
) =
uq
(
x
) со вторым порядком. Чтобы найти
значения 
y f 1 запишем уравнение (4) при л = 0:
v t - W + yJ1
------ -------
=
У - х
. ,
и учтем, что 
г/- 
=Uo(Xi). Отсюда получим у ф = — у] + 2и0 (лг() — 
.■
Подставляя это выражение для 
у 1~х в уравнение (9), приходим к уравнению (8),
Для исследования устойчивости будем так же, как и в § 4, ис­
кать решение уравнения (4) в виде
yn = qneiih

 
(Ю)

Подставляя это выражение в (4) и сокращая на 
е:м,
получим 
для 
q 
квадратное уравнение
ф — 2
^1 — 2vsin2^ - j <7+ 1 = 0 ,
(И)
284

---

Будем считать разностное уравнение (4) устойчивым, если оба 
корня уравнения (11) не превосходят по модулю единицу. Пусть 
ql
и 
q i —
корни этого уравнения. Если оба корня действительные, 
то поскольку ^(
72
=
1
, найдется ср, для которого один из корней 
меньше единицы по модулю, а второй — больше единицы. Если же 
корни комплексно сопряженные, то |^ ,| = |^ 2| = 1. Таким образом, 
разностное уравнение (4) устойчиво, если при всех действительных
Ф выполняется неравенство ^ 1 — 2'ysin2 ^2_j ^ 1 ,
т. 
е. ysm2^ - <;
^ 1 . Последнее неравенство выполняется при всех ф, если
т <А . 
(12)
Строгое обоснование устойчивости схемы (4) будет дано в § 3 
гл. 4.
2. 
Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности. 
Хотя 
трехслойные схемы для уравнения теплопроводности
ди 
д*и
(13)
dt
дх
2
применяются значительно реже двухслойных, их иногда используют 
для повышения порядка аппроксимации или для улучшения устой­
чивости. Приведем несколько примеров трехслойных схем для 
уравнения (13). На первый взгляд кажется очень естественным 
заменить уравнение (13) явной симметричной схемой второго по­
рядка аппроксимации
у
Г -
у
1
2т
у1 1-2у1+у'1_1
h?
(14)
Однако эта схема совершенно непригодна для использования 
на быстродействующих ЭВМ, поскольку при любых шагах т и 
h
она является неустойчивой. Если искать ее решение в виде (10), 
то получим уравнение
Цг
+ 8у sin2 
q
— 1 = 0 ,
у = - ^ - ,
один из корней которого по модулю всегда больше единицы.
Если в уравнении (14) заменить значение 
y'j
на полусумму
0.5(*/у+1 +
то получим схему
у
Г ~
у
]
2т
,,п+1
,/■-! I 
,,п
У/ л - У/ —yj +У/~
1
/I2
(15)
которая интересна тем, что является абсолютно устойчивой, но об­
ладает условной аппроксимацией. Обозначим
Ус
■Ус