|
1 + 4уа sin2 —
а = 0 , 5 ,
<р« = / (xi, t n+%) + О (т2 + h \
и |
q
| ^ 1 при всех ф, если
а7з= —
2
4т
(19)
Отсюда видно, в частности, что
все схемы с
0,5
абсолютно
устойчивы.
Схема повышенного порядка аппроксимации (а=о.)
также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.
При
афО
разностная схема (15) является неявной схемой. Для
нахождения решения
yf +1
по заданным
у*
требуется решать си
стему уравнений
oyyn
it} - (1 + 2ау)уГ1 + ayytl = - F?t i = 1 , 2 ........N — 1, (20)
rt+1
/ /
\
rt-J-1
/ /
\
yo
— 1^1
Ум
— 1^2
где
V =
.
Ft = Vi +
(1 — or)
ту-х .
+ Тф£.
Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости
прогонки (условия (47), (48) из § 4 ч. I) при
а ф
0 сводятся к не
равенству
11 +
2оу
| ^ 2 1 ст | к
и выполнены при а ^ —1/(4^). Последнее неравенство следует из
условия устойчивости (19) разностной схемы.
4.
Уравнения с переменными коэффициентами и нелинейные
уравнения.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения
теплопроводности с переменными коэффициентами
P { X ’ t ) l t ~ = Tx { k { x ' t ) d £
) + f i x ' t ) ’
° < х <
1 >
0 < * < 7 \ ( 2 1 )
и( х, 0) = и№(х), и(
0 , 0 = М О . и ( 1 , 0 = М 0 ,
где р(х, (),
k(x, t ), f (x, t )
— достаточно гладкие функции, удовлет
воряющие условиям
0
< с ^ к ( х , t) ^Zcz,
р(х,
t ) ^ t c 3>0.
(22)
279
фиксированном
t
аппроксимируем в точке
(xit t)
так же, как и в
стационарном случае (см. § 1), разностным отношением
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е в ы р а ж е н и е
L u = ^ - ( k ( x , t ) y j
ПР П к а ж д о м
A(t)yi =
( a ( X i,
t) y-)x,i
=
h
& (Xit-i>
t) y^ - yi
h
a (Xi
,
t)
Ус — yi-i
h
(23)
где разностный коэффициент теплопроводности
a{xitt)
должен
удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации
a {xi+u t) + a (xt, t) = 2k
(
xit t) + О
(/г2),
a (xi+
1- 0 —
a (xi> t)
h
= k'(Xi, t)
О
(/г2).
Наиболее употребительны следующие выражения для
a(Xi,t):
а
(
а
-,,
t)
=
0,5
(k (х^
t )
+ k (Xi-U
/)),
a (xit
t )
= k ^
*t j ,
2k (Xt , t) k (xL, t)
а (хц t)
= --------------------- .
k (xL_v t) + k (xt, t)
Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид
Р(*/.
о
—----- — = Л (0
(o y^1 + ( \ — o)y'0 + f(Xi , t ), i =U
2,
...,N
—1
,
Т
(24)
У о
= Pi
(Q. У%
= Рг
(in). У
0
1
= “о
(хд-
Здесь в качестве
t
можно взять любое значение
t ^ [ t n, in+
,],
например
t= tn-\-
0,5т. Если в уравнении (24)
о=0,5, то
схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по т и по
h.
При
остальных значениях а и 2 выполняется первый порядок аппрокси
мации по т и второй — по /г.
При исследовании устойчивости разностных схем с переменны
ми коэффициентами иногда применяется
принцип замороженных
коэффициентов,
сводящий задачу к уравнению с постоянными коэф
фициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравне
нию (24) с о = 0 и
f ( xu t)
= 0 , т. е. схему
и?4-1 -
чп
р
{xt, t)
^
=
{a {xt, t) у-х)х,!.
(25)
т
Предположим, что коэффициенты р(д
:и t), а(хи t )
— постоян
ные, р
(х;, t)
= p = c o n s t ,
a(xitt)
= a = c o n s t . Тогда уравнение (25)
можно записать в виде
Р
у
Г 1-
у
1
Т
аи-
j X X
280
или
у
-+1-
у
?
= У*.
хх,О
X
=
та
р
Из п. 2 известно, что последнее уравнение устойчиво при
%'
=
т. е. при
та
Р
hL
2
:0,5/t2
(26)
Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема
(25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых
значениях
а(хи
/), р(х„
t),
т. е. если при всех
х, t
выполнены нера
венства
та
(xt, t) ^ /ta
Р (*/.
2
(27)
Если известно, что 0 < c i^ a ( x i,
t ) ^ c 2,
р(х,-, £ ) ^ сз > 0 , то неравен
ство (27
1
будет выполнено при
Л2
СЯ
2
с
2
Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в при
мере 2 из § 4 гл. 2.
Если параметр
0,5, то из принципа замороженных коэффи
циентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).
Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного
уравнения теплопроводности
1 r = s ( * < “> s ) + '<“>-
<28)
В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пре
делы изменения функции
k(u),
избегают пользоваться явными схе
мами. Чисто неявная схема, линейная относительно
y1+ t,
£= 1 ,2 ,...
. . . , Дг— 1, имеет вид
у
Г -
у
?
i
,„
V ~
=
1
1
i+1
И
4+1.
п+1
1/п+1_ип+1
'
‘
- а ,-
^ ) + /& ? ) ,
(29)
где
at= 0,Ь (k(y1)
+ fe (г/Г-О). Эта схема абсолютно устойчива, имеет
первый порядок аппроксимации по г и второй — по
h.
Решение
у Г \
‘'= 1 . 2 , . . .
, N —1,
находится методом прогонки. Заметим, что
схему (29) можно записать в виде
УЬ
=
J ((ЬУ;)*.1
+
ФУхЬ)
+
f
где
k ^ k iy '} ).
281
Часто используется нелинейная схема
^ - ^ = 4 ( « < о
ft
v-+1
■54+1- Г
а {у™)
У ? ' ~ №
а
(УГ1) =
* (
у
Г 1) + * (
у
?-!1)
( 3 0 )
Для реализации этой схемы необходимо применить тот или
иной итерационный метод. Например такой:
(S+1)
п
[
(S+1)
т
ft \
ft
Щ
(S+1)
■
a
w
У\
, < s + l )
■
l/s+1)
ill-1
+ f(yf>
), (31)
s = 0, 1, . .
M —
1,
tfi»— y*, у\М) = У1*.
Здесь s —номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты
берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального прибли
жения для
у"+1
выбирается
уп.ш
Это начальное приближение тем
лучше, чем меньше шаг т. Число итераций
М
задается из сообра
жений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при
k ( u ) ' ^ c
i^>0 часто бывает достаточно провести две — три итерации.
Значения
у ^ +1)
на новой итерации находятся из системы (31) ме
тодом прогонки. При
М=
1 итерационный метод (31) совпадает с
разностной схемой (29).
Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) при
меняются также схемы предиктор — корректор второго порядка
точности, аналогичные методу Рунге — Кутта для обыкновенных
дифференциальных уравнений (см. п. 2 § 1 гл. 6 ч. II). Здесь пере
ход со слоя
п
на слой
п+
1 осуществляется в два этапа. Приведем
пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная
система уравнений
«"+'/«
_
„ п
-
-
У‘ = (a {y1 )yl+l/% ,i+ t{y1), 1 = 1,2,
. . . .
N -
1,
0,5т
&!+*
=H
i
((«+
0,5
т
),
у*+,/г
= [i2
(tn
+ 0,5т),
из которой находятся промежуточные значения
t=0, 1 , . . .
. . . ,
N.
Затем на втором этапе используется симметричная шести
точечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэф
фициенты
а {у), f(y)
вычисляются при
у =
гф+1/*, т. е. схема
$
Ус
1 //_ /,.я+И\ . Я+1Ч
------------- ------------=
-
( ( а (Ус
)У~Х ) х , г
(a (n r* )£ h .t) + f № ' A),
t = l , 2, . . . ,
N -
1,
У Г ~
I11 ((«+i)>
У™ ~
Pa ((««)■
282
1.
Разностные схемы для уравнения колебаний. Рассмотрим
первую краевую задачу для уравнения колебаний
— = — ,
0 < х < 1, 0
< t s ^ T ,
(1)
dt*
дх*
u (0 ,0 = p .(0 . u ( U ) = M 0 , 0 ^ < 7 \
(2)
u(x, 0) — uo(x),
(x,
0) =
u0 (x),
0 < x < l .
(3)
ot
Известно (см., например, [41]), что эта задача поставлена кор
ректно, т. е. ее решение существует, оно единственно и непрерывно
зависит от начальных и граничных данных.
Будем использовать ту же сетку соЛт, что и в § 4, т. е. « Лт =
= с»ЛХ<
0
1,
— [xi = ih, i —
0, 1
, . . . , N, hN
= 1},
ЙТ =
{tn — пт, п
= 0, 1, . . . ,
К,
/Сх =
Т
}.
Очевидно, минимальный шаблон, на котором можно аппрокси
мировать уравнение (1), это пятиточечный шаблон, изображенный
па рис 11,
г.
Таким образом, в отличие от схем для уравнения теп
лопроводности, в которых использовалось только два временных
слоя (слои
п
и п + 1 ), здесь требуется использовать три слоя:
п—
1,
п, п+
1. Такие схемы называются
трехслойными.
Их применение
предполагает, что при нахождении значений
у"п
на верхнем слое
значения на предыдущих слоях
у*-1, y f t i = 0 , l , . . . , N
хранятся
в памяти ЭВМ.
Видимо, простейшей разностной аппроксимацией уравнения (1)
и граничных условий (2) является следующая система уравнений:
Do'stlaringiz bilan baham: |
