А. А. Самарский, А. В. Гулин

у
Г 1 -
у
!
„
п+1 г>,/1 + 1
Уиу — 2Ус
' 
Л2
'
ф* )
(
12
)
1 , 2 , . . . ,
N —l, п=0,
1,. .. , 
К—\,
У а 
==
P i (C
i
+
i
)
i
Уы
= Рг (^i+i)> 
/Г =
0, 1, . . . ,
К
—
1, 
у1 = и0{хс),
1 = 0 ,1 .........
N.
Здесь ф" 
=f(Xi, tn+i) -\-0(x + hl).
Схема имеет первый порядок 
аппроксимации по 
х
и второй — по 
h.
Решение системы (12) нахо­
дится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с и=1. Одна­
ко теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения 
у Т 1
по 
известным 
yt
требуется решить систему уравнений
УУи1
- (1 + 2Т) 
У’Г 1
+
yy?-i = — Ft,
i ' = l , 2 ........
N
— 1,
Уо
= Pl(^n+l)i 
Ух
— P2(^ri)i
где 
j= x /h 2, Ft ~ у 1
4- тф?. 
Эту систему можно решать методом 
прогонки (см. п. 7 § 4 ч. I), так как условия устойчивости прогонки 
выполнены.
276

---

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем 
искать частные решения уравнения
у
Г 1 — 
у
1
- 2
у ^ + у^Ц
h2
имеющие вид (10). Тогда получим
, _ ( 1 + 4т5т > 'А Г .
y = j r .
следовательно, [<7|^1 при любых ф, т, 
h.
Таким образом, схема
(12) абсолютно устойчива, т. е. устойчива при любых шагах т и 
h.
Абсолютная устойчивость является основным преимуществом не­
явных схем.
Теперь уже не надо брать шаг т слишком малым, 
можно взять, например, т=/г=10_г. Величина шагов сетки т, 
h
определяется теперь необходимой точностью расчета, а не сообра­
жениями устойчивости.
Шеститочечной симметричной схемой
называется разностная 
схема
■ 
_ ип 
,
У i
___
У[_
__ _1_ / «4-1
т 
~ 2
' 
у
\ х.Ь
+ т".
(14)
для которой начальные и граничные условия задаются так же, как 
и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изо­
браженный на рис. 11, 
в.
Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что эта схема 
имеет второй порядок аппроксимации как по 
h,
так и по т (если 
только ф? 
=f ( x u
z
1„ + 0,5
t
) + O (
t
2+ /
i
2)), она абсолютно устойчива 
и ее можно решать методом прогонки.
Обобщением трех рассмотренных схем является однопарамет­
рическое 
семейство схем с весами.
Зададим произвольный дейст­
вительный параметр о и определим разностную схему
у
Г ~
у
1
i
= 1 , 2 , . . . ,
N—l,
n = 0 , 1.........../С— 1,