|
§ 3. Исследование аппроксимации и сходимости
1.
Аппроксимация дифференциального уравнения. В § 2 рассма
тривалась краевая задача
(k(x)u'(x)
)'—
q(x)ti(x)-\-f(x)
=0,
0
<х<1,
(1)
—
k(0)u'(0)
+ р«(0) = р„ и(/)= р2,
(2)
k ( x ) ^ C i >
0,
P
j
^
s
O,
для которой интегро-интерполяционным методом была построена
разностная схема
(ау-)хЛ
—
ditji
+
ф
,- = 0,
£ = 1 ,2 , . . . .
N
— 1,
(3)
—
ахУх,о
+ &/<>=: Pi,
Ум =
р2,
(4)
где
Н И
d x
k
(
х)
£ = 1, 2, .. . ,
N,
(5)
Xt+Vi
f
Xt+Vt
di = j
J
q(x) dx,
qa
=
j -
J / (x)
dx,
i
= 1
,
2,
. .. ,
N
—
1
,
(6)
x i - v ,
P ■= P
+ 0,5/id„,
= Pi
- f
0,5/icp0,
0.5/1
0,5/1
d„
— '
J __
0,5
h
j
q{x)dx,
Фо:
0,5ft
/ (.tj
dx.
Обозначим через
Lu(x)
левую часть уравнения (1) и через
Lhy{
— левую часть уравнения (3), т. е.
Lu (х)
=
(k (х)
и'У
—
q(x)u (х)
+ /
(х),
Uyi
=
(ау-)х,; — dcyi
+ ф£.
265
Пусть
v(x)
— достаточно гладкая функция и
v(xi)
— ее значение в
точке
х,
сетки
со
h={x{ =
i h ,
i
=
О, 1
,
N, hN =
/}.
(7)
Говорят, что
разностный оператор Lh аппроксимирует дифферен
циальный оператор L в точке х = хи
если разность
Ьки
{—
Lv(x{)
стре
мится к нулю при ft—
>-0. В этом случае говорят также, что разност
ное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение
(
1
).
Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разло
жить по формуле Тейлора в точке
x = xt
значения
vi±l = v (x1± h
) ,
входящие в разностное выражение
Lhv{.
Большая часть этой работы
проделана в § 1, где показано, что при условиях
=
К
(А -,) +
О
( / I 2) ,
Д ‘Ч 1 о+ а ‘ - =
k ( X t )
+ О ( / I 2)
( 8 )
h
2
выполняется соотношение
(аг^)х — (k (х) и' (х))’ \х=н
=
О
(/г2).
Если кроме того, докажем, что
Ф = д{х{)
+ 0(/г2), ф4 = /(* 4) + 0(ft2) ,
(9)
то тем самым будет установлено, что оператор
Lh
аппроксимирует
L
со вторым порядком по ft, т. е.
LkVi— Lv (х{)
=
О
(ft2) ,
t = 1, 2, . . . .
N
— 1.
(10)
Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится
к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим
сначала выполнение условий (8). Обозначая
р (х)
=ft~‘
(х),
получим
— = 4 "
\ Р
М
dx = Pt-v.
+
p’i~'/'
+
0
a;
h
J
12
хс
-1
следовательно,
at = ki-y,
Аналогично
~
^
+ 0 Ю = к
^
^
^
+ 0(1Р).
Pi-1/2
1* Pi
fli+l =
^i+Vi
----ГГ
~T
+ О (^3)*
Iz
Отсюда получим
a^ + aL = k ( Xi) + 0(h*),
ai+1
+
о
(/I2)
= k ’ (xt)
+
0
(ft2),
h
h
t
.
e. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того,
266
что замена интегралов (6) значениями
qu
/,• соответствует прибли
женному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольни
ков с узлом в середине отрезка интегрирования.
2.
Аппроксимация граничного условия. Исследуем погрешность
аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим
lhv{
0) = —fli^o+p^o- Если
v(x)
— произвольная достаточно глад
кая функция, то очевидно
Uv(Q) = - k ( 0 ) v ' ( 0 ) + $v(0) + 0(h) ,
т. е. имеет место аппроксимация первого порядка по ft. Однако если
v = u(x
) — решение задачи (1), (2), то разностное граничное усло
вие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т. е.
—
a-iUx
,о + р
uQ — \i1 = — k
(0)
и’
(0) + Р
и
(0) — pj +
О
(ft2).
Докажем последнее утверждение. Используя разложения
их о~
(Ц,
u0) jh = u (х1/2)
+ 0(ft ),
x1/2 = 0,5ft,
й-i — ki/i
+ 0 (/г2) ,
получим
u*.0
— w%
+
0 (h2) — W0 + 0,5hw’o
-f
О
(ft2) =
=
k
(0)
и'
(0) + 0,5ft (
ku')'
(0) +
О
(ft2).
Отсюда имеем
lku
(0) = —
k
(0)
u'
(0) — 0,5ft
{ku')'
(0) + pu0 —
+
О
(ft2) =
= [ -
k
(0)
u'
(0) + p
и
(0) -H il+0,5/1 [ -
(ku1)'
(0) +
d0u , - %]
+
О
(ft2)
Учитывая граничное условие (2), получаем
Lu
(0) =0,5ft [ - (ft
и ')'
(0) + d„Ho-(p„] + О (ft2) .
Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учиты
вая уравнение ( 1 ) ,к виду
— (k u ')'(0 )+ d 0u0—
+ № - < 7 ( О Ж - ( / ( 0 ) - Фо) =
(d0
—
q
(0)) «о— (/ (0) —ф0) •
Из соотношений
ХУ,
d° =:'o
hh
J
cl(x)dx = q{0) + O{h),
9
0 = f(0) + 0(h)
0
получаем
l h U
(0 ) = —
+ p u 0 — jTj = 0 (ft2),
что и требовалось доказать.
Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов
k(x),
q{x
),
f(x)
и решения
и(х)
разностная схема (10) аппроксимирует
исходную задачу (2) со вторым порядком по ft.
267
При практическом использовании разностной схемы для нахож
дения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4),
(6) точно.
Можно воспользоваться коэффициентами, полученными
путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имею
щими точность
О
(/г2) и выше. Например, в результате применения
формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты:
а{ =
= k { X i —
0,5/i),
di = q ( X i ) , q>i = f ( X i ) .
Применяя формулу трапеций, получим
dr-
4;-% + 41+■/,
фг =
И/,
Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегра
лов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в
случае разрывных функций
k ( x ) , q (х
) ,
f(x)
(см. [32]).
3.
Уравнение для погрешности. Решение
yi -y(Xi )
разностной
задачи (3), (4) зависит от шага
h
сетки,
у ( х {) =y h(Xi
) . По сущест
ву, мы имеем семейство решений {г/Л (*,)}, зависящее от параметра
/г. Говорят, что решение
ун{х)
разностной задачи
сходится
к реше
нию
и(х)
исходной дифференциальной задачи, если при /г->-0 по
грешность
yh(x
i)—
и(х{), i =
0, 1, . . . , (V, стремится к нулю в некото
рой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем
брать норму в сеточном пространстве C(cah), т. е. положим
||
ук
—
и\с
—
max |
yh(xt)
—ы(я4) |. Говорят, что разностная схема
имеет m-й порядок точности
(или
сходится с порядком
т ) , если
где т > 0 ,
М
> 0 — константы, не зависящие от
h.
Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй поря
док аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй
порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, ко
торому удовлетворяет погрешность
=
—«(хД. Подставим г/* =
= г{—и(х{)
в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения
(az-)xj
—
diZi
= — vpi,
i =
1, 2, . . . ,
N
— 1,
(11)
— ajZ*.„ + pz0 = Vj, 2,.v = 0,
(12)
где обозначено
Ti = — (a«-)*,i +
diUi
+ ф i, vr =
ayux,
0
— P«0 + Pi-
Функция i]x, входящая в правую часть уравнения (11), называ
ется
погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения
(1)
разностным уравнением
(3)
на решении задачи
(1), (2). В п. 1
было показано, что -ф£ = 0(Л2) при
h-*-
0, £ = 1 , 2 , . . . ,
N
—1. Аналогич
но, величина v, является по определению
погрешностью аппрокси
мации краевого условия
(2)
разностным краевым условием
(4)
на
решении задачи
(1), (2), причем V[=0
(h2) .
Таким образом, струк
тура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разност
ной схемы (3), (4), отличаются только правые части.
268
Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение
задачи (11), (12) через правые части ф;, vt, т. е. получим неравенст
во вида
NUo,,) < MlflWIcbo,,) + I V1 I)
(13^
с константой
Mu
не зависящей от
h.
Из этого неравенства и будет
следовать, что ilz||C((0(i)
= 0 ( h 2).
Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными
оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем.
Поскольку структура уравнений для погрешности (11), (12) та же,
что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые
части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной
оценкой
Do'stlaringiz bilan baham: |
