А. А. Самарский, А. В. Гулин

2
)
a>h={Xi = ih, i =
0, 1, . .. , 
N, hN = l).
262

---

U(_)/2, 
xi+t/2].
Далее, заменим интеграл
х <■ +'/,
j
q (х) и (х) dx
Х‘—'Л
Xi+'A
его приближенным значением 
щ
i 
q(x)dx
и введем обозначения
x t - v .
Х ‘ +Уж
= j
j
Q(x)dx,
ф
i = ~
j
f(x)dx.
Xi-V, 
Xi-V,
(4 )
В результате вместо уравнения (3) получим уравнение
W,.i, --- W; ,,
----- ---------— — 
d m
+ фг = 0.
h
(5)
Выразим теперь 
wi±l/2
через значения функции 
и(х)
в точках сетки. 
Для этого проинтегрируем соотношение 
и'(х) =w( x) j k( x)
на отрез­
ке 
[xt-i, xf].
Тогда получим
Ui
— Wi-ji —
Г w
(л)
k ( х )
dx
: Wi-y,
j
dx
k
 (дс) ‘
Обозначая
(
6
)
получим 
щ U— “l~l ■= am-'., wi+l/2 = a(+luXii.
Подставляя эти выражения в уравнение (5), получим разност­
ное уравнение, содержащее значения искомой функции в точках 
xit
X,±i\
-j- (ai+1uXti
— 
щи-:)
— 
diui
+
(pi
= 0
или в сокращенной записи
(au-)Xil
— 
d ^ i
 + ф£ = 0. 
(
7
)
Это уравнение по своему построению является разностным ана­
логом основного дифференциального уравнения (1). Записывая 
уравнение 
(7) во 
всех 
точках сетки, в которых оно определено, т. е. 
при t= 1, 2 , . . . ,
N
— 1, получим систему из 
N
— 1 линейных алгебраи­
ческих уравнений относительно 
N +
1 неизвестных 
иа, и2, . . . , uN.
Два 
недостающих уравнения получаются путем аппроксимации гранич­
ных условий (2). Одним из этих уравнений является условие 
uN=
263

---

= p2, а второе может быть получено интегро-интерноляционным ме­
тодом. Для этого проинтегрируем основное уравнение (1) на отрез 
ке [0, *,/,], где х./2 = 0,5*:
*■/. 
ХУ,
w'A ~ wa
— J 
q (х) и (х) d
x
j
f(x)dx =
0. 
(8)
о 
о
Полагая, как и ранее, да,_1/2~
щи
- ., получим при i = I, что 
w ui =
= aiu - l.
Выражение для 
w0
следует из граничного условия при х =
= 0: ш0= —pj + puo- Наконец, полагая
*■/, 
*%
^ 
q (х) и (х) d x ^ ,u 0
^ 
q (х) dx,
6 
0
получим из тождества (8) разностное уравнение
а
1
ихл~~$ио
+ И
1
 — 
и0
\ q ( x ) d x +
^ 
f (x)dx =
 0. 
(9)
о 
О
Обозначая
перепишем уравнение (9) в виде
—
й,их
0-Ь (|}-|-0,5
hda) и0 =
ц! + 0,5/кро.
Из этой записи видно, что полученное уравнение является разност­
ным аналогом граничного условия 
—k
(0) 
и'
(0) +
$и
(0) = р,.
В дальнейшем решение разностной задачи в отличие от реше­
ния дифференциальной задачи будем обозначать буквой 
у,
так что 
у, — у
(х,-), х;есол. Объединяя все уравнения (7), (9), получаем сле­
дующую разностную схему для задачи (1), (2):
(ay-)x,i — diyi
+ ф£ = 0, 
t '= l , 2 ,
. . . , N
— 1, 
^
—а
1
Ух,о+ (р+0,5й^0) г/0 = р, + 0,5/цр0, 
yN =
р2.
При анализе разностной схемы (10), как впрочем и любой дру­
гой разностной схемы, возникают следующие вопросы: а) существо­
вание и единственность решения системы линейных алгебраических 
уравнений (10); б) каким методом надо отыскивать это решение; 
в) какое отношение имеет система разностных уравнений (10) к ис­
ходной задаче (1), (2), иначе говоря, переходит ли разностное урав­
нение (10) в уравнение (1), если шаг сетки 
h
стремится к нулю? 
Это вопрос об аппроксимации дифференциальной задачи (1), (2) 
разностной схемой (10); г) сходится ли решение 
у(х)
разностной 
задачи к решению 
и{х)
дифференциальной задачи при й-И)?
На первые два вопроса можно ответить немедленно. Разностная 
задача (10) является типичным примером задачи, которая решает­
264

---

ся методом прогонки, изложенным в п. 7 § 4 ч. I. Систему уравнений
(10) можно записать в виде
А {у{- — С(у, + Вху<+1 = — Fu
£ = 1 , 2 , . . . ,
М—
1,
Уо
= «l^/i + P i, 
0л/ =
где
А {= аи В{ = а{+и Ci = ai+ a i+l + h1di, F ^ h ? ^ ,
*2 = 0,
х __ _____________ !____________
~ _ h (Ц 4 + 0,5/кро)
1 
1 + Ae^1 (Р + 0,5Arf0) ’ И 
а,
Из условий щ >0, (З^О, 
d ^ O
следует, что 
C ^ A ^ B i X ) ,
т. е. вы­
полнены условия устойчивости прогонки. Поэтому разностная зада­
ча (10) однозначно разрешима и ее можно решать методом прогон­
ки по формулам (44) — (46) из § 4 ч. 1.
Вопросы аппроксимации и сходимости обсуждаются в следую­
щем параграфе.