А. А. Самарский, А. В. Гулин

Рис. 
10. Пространственно-
временная сетка 
e>h, х
Уы ■
■
у
Г ~
у
?
у
-
я Х.Х
y ^ - ^ l + yU
(4)
т 
" 
Л2
Иногда для упрощения записи индексы 
i
и 
п
будем опускать, обо­
значая 
y t = 
у
Ь, 
ухх
=
у
-ххЛ.
(Х1-Ь*п) (xii^n) (Х1+11^п)
a
(X[,tn)
6
(X i - b ^n+ l) (x ii^ n + l) f a +Ь ^n+l)
(■XlJn+i)
(х с-
1
^п) (xL^n) (Х/Л7^п)
(XL^n) (Xi\1i^n)
(xL^n-l)
i)
Рис. II. Шаблоны разностных схем: 
а — явная схема; б — чисто неявная схема;
в — симметричная схема; г — трехслойная схема
Чтобы аппроксимировать уравнение 
( I )
в точке 
(xtl 
t n) ,
 
введем 
шаблон, изображенный на рис. П, а и состоящий из четырех узлов 
(х1±1, 
tn),
(
Xi
, 
tn), (xu tn+i).
Производную 
du/dt
заменим в точке 
(х;, 
tn)
разностным отношением 
у1
},с,
а производную 
дги!дх2
— второй 
разностной производной 
у~х t.
Правую часть 
/(х , 
t)
заменим при-
273

---

ближенно сеточной функцией qtf в качестве 
из следующих выражений:
Х1+У, 
*п+1 хС
 + Уг
1
j
f (x, t n)dx
, — j
dt
j
f {x, t)dx.
t n 
xi-y,
В результате получим разностное уравнение 
С 1-У ? 
у
1+1
+
У?-1
т 
ft
2
•г 
я
+ ф 
i
.
(5)
которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в 
точке 
(xi7
£„) с первым порядком по т и вторым порядком по 
h
при 
условии, что разность <р7‘—
f ( x it tn)
имеет тот же порядок малости.
Под разностной схемой понимается совокупность разностных 
уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное урав­
нение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (началь­
ные и граничные) условия — в граничных узлах сетки. Разностную 
схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть 
также разностной задачей. В данном случае разностная схема име­
ет вид
г/Г1 
— 
у
1
У и , - Ч + у и
л2
+
п
Ф г ,
1 = 1, 2, . . . ,
N—
1, n = 0, 1, . . . .
К—
1, 
hN=
1, 
Кт = Т,
(6)
Уа
= Hi 
(tn), 
Уы
= Иг 
(tn), 
п =
0, 1 , 2 , . . . , 
К,
y ° i= u 0(Xi),
 
£ = 0, 1.........
N.
Эта схема представляет собой систему линейных алгебраиче­
ских уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. 
Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на ну­
левом слое задано начальными условиями
у° = иа(х{),
£ = 0, 1........
N.
Если решение 
у?,
£ = 0, 1, . . . , 
N,
на слое 
п
уже найдено, то реше­
н и е ^ 1 на слое 
п+
1 находится по явной формуле
УГ1 
=
t f
+
Т
(yn
-x i
+ ф'г), 
£ = 1 , 2 -------
N -
1, 
(7)
а значения 
у"*1
= Hi (£n+i), 
yNrl = \x2(tn+i)
доопределяются из гранич­
ных условий. По этой причине схема (6) называется 
явной разност­
ной схемой.
Несколько позже мы познакомимся и с неявными схе­
мами, в которых для нахождения 
у Т
1 при заданных 
у*
требуется 
решать систему уравнений.
Погрешность разностной схемы
(6) определяется как разность 
2i" = H"—
а(хи tn)
между решением задачи (6) и решением исход­
ной задачи (1) — (3). Подставляя в (6) 
yl = z* + u(xi,
£„), получим
274

---

у р а в н е н и е д л я п о г р е ш н о с т и
■ 2 * ? + ^
А2
+ Фы
i = l , 2 , . . . ,
N
—1, 
п = 0,
1, . . . , 
К
1, 
hN=
1, 
Кт=Т,
г" =
2
." = 0, n = 1, 2......... /С, Z? = 0, i = 0, 1, . . . , 
N,
(8)
где 
ф? = — и?,; +
. + ср" — 
погрешность аппроксимации раз­
ностной схемы
(6) 
на решении задачи
(1) — (3), ф? = 0 ( т + /г 2). 
Можно оценить решение гГ уравнения (8) через правую часть ф? 
и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым 
порядком по т и вторым — по 
h.
Однако это исследование мы отло­
жим до § 3 гл. 3, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем 
один распространенный прием исследования разностных схем с по­
стоянными коэффициентами, называемый 
методом гармоник.
Хотя 
данный метод не является достаточно обоснованным, в частности 
не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он по­
зволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимо­
сти разностных схем. Покажем, например, что 
явную схему
(6) 
можно применять лишь при условии
т ^ 0 ,5
h2,
означающем, что шаг 
по времени надо брать достаточно малым.
Рассмотрим уравнение
у
Г ' - У /
у
!+1 —
2^/ +
У1-1
А2
(9 )
т. е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать 
частные решения уравнения (9), имеющие вид
У1
(ф) =
qnei'k(t>,
(10)
где 
i
— мнимая единица, ф — любое действительное число и 
q
— чис­
ло, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и 
сокращая на