А. А. Самарский, А. В. Гулин

+ 36г/„_2 
16(/п_3 +
Зуп_А
----------------------- 
—
■1\1п,Уп)
V*U
имеет четвертый порядок точности и Л (а)-устойчива при некотором
а > 0 .
5. 
Чисто неявные разностные методы. 
В настоящее время при 
интегрировании жестких систем уравнений широко используется 
метод Гира [37], в основу которого положены чисто неявные много­
шаговые разностные методы высокого порядка точности.
Разностный метод
m
2
^кУп—
k
= = Т /
(/п
, 
Уп)
(2 2)
к
= о
называется 
чисто неявным.
Он является частным случаем метода 
(2), когда
bi = b2 = . .
. = йт = 0, 
b
о=1.
Для отыскания 
уп
получаем из (22) нелинейное уравнение
а0уп
— т/ 
( t n ,
«/„) = — 2
акУп-к,
(23)
к=1
которое можно решать тем или иным итерационным методом.
Условия 
p-то
порядка аппроксимации (9), (10) из § 3 в случае 
метода (22) принимают вид
m
m
 
m
а0 = —
2
аь>
2 ^ =
2
klak = 0, 1 = 2,3, . . . , р .
(24)
k=i 
k~l 
к=1
Отсюда видно, что наивысший достижимый порядок аппроксима­
ции чисто неявного /n-шагового метода равен 
т.
Упомянутый выше 
метод Гира использует чисто неявные схемы наивысшего поряд­
ка аппроксимации. Система уравнений (24) для определения
255

---

коэффициентов 
аи 
.. ., 
ат
метода наивысшего порядка имеет вид 
а 4 + 2а2 + . . 
, + та„=
— 1, 
а1 + 22а2+ . . . + т2ат = сц,
(25)
ctl
-f- 
2
шо
.2~\~.
. . “(- 
tnmctm =
0.
Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель отли­
чен от нуля.
При т = 1 метод (23), (25) совпадает с неявным методом Эйле­
ра. При 
т =
2 и 
т =
3 получаем методы
у
Уп
 — 
2Уп-1
 + у
Уп
-2
 =
I f
 (
tn, Уп),
 
(26)
~~ У
п 
ЗУа
- 1
 Н ~ 
Уп
- 2
 
~ Уп-з -
- Д/ (^П) Уп), 
(27)
о 
2 
3
имеющие, соответственно, второй и третий порядок точности. При 
т=А
из (23), (25) получим схему (21). Для практических расчетов 
используются аналогичные методы вплоть до десятого порядка точ­
ности.
Важно отметить, что чисто неявные разностные методы обла­
дают хорошими свойствами устойчивости, позволяющими исполь­
зовать их для решения жестких систем уравнений.
Рассмотрим более подробно метод второго порядка (26) и най­
дем область его устойчивости. Для модельного уравнения (4) ме­
тод (26) принимает вид
у Уп 
2Уп-i -f" уУп-г = РУ
п
, 
(28)
где р = тЯ. Ему соответствует характеристическое уравнение
(~— pj (29)
Нам нужно найти множество точек 
G
комплексной плоскости 
p = p0+ t p b для которых оба корня gi2(p) уравнения (29) не пре­
восходят по модулю единицу. Границей области 
G
является множе­
ство таких точек р, для которых 
\ q\
= 1.
Выразим из уравнения (29) параметр р через переменное 
q,
т. е. запишем
Р = у - 2 у ~ 1+ 1 
(30)
Отсюда видно, что если |у | = 1, т. е. 
ц = е~н,
то
р== у — 2el4f + у е 21'Т 
(31)
При изменении аргумента ср от 0 до 2л точка р описывает замк­
нутую кривую Г, симметричную относительно действительной оси
25G

---

(см. рис. 7). Для точек 
jj
,(^
7
), расположенных снаружи от этой кри­
вой, выполнено условие |д |< 1 , поэтому область устойчивости 
G
метода (28) представляет собой внешность кривой Г. Точки, рас­
положенные внутри Г, составляют область неустойчивости. Обозна­
чая 
a
=
cos
ср, можно переписать (31) в виде
р = (1— 
х ) г± Ц \= х * (2 —х),
откуда следует, что вся кривая Г расположена в правой полу­
плоскости. Поэтому область устойчи­
вости метода (26) целиком содержит 
левую полуплоскость и тем самым ме­
тод (26) является Л-устойчивым.
Исследуем аналогичным 
образом 
область устойчивости метода четверто­
го порядка (
2 1
).
Записывая 
характеристическое 
уравнение в виде
р 
(25 -
48<Г1+36<Г2-16<Г3+3<Г4)