А. А. Самарский, А. В. Гулин

+
0
.
5
.И
1
—
0
,
5
ц
(19)
Отсюда видно, что | 
q \
^ 1 тогда и только тогда, когда Re pi^O. Сле­
довательно, метод (19) является Л-устойчивым.
При решении жестких систем уравнений было бы желательно 
пользоваться именно Л-устойчивыми разностными методами, так 
как условия их устойчивости не накладывают ограничений на шаг 
т. Оказывается, однако, что класс Л-устойчивых методов весьма 
узок. В частности, 
среди методов вида
(2) 
не существует явных
A -устойчивых методов.
Для доказательства запишем характеристическое уравнение 
(18) в виде
Р =
a,gm + aiqnl- 1 + ■ ■. + %
b 0q m
+
b i q 'n ~ l + . . . + b „
(
20
)
Если (2) — явный m-шаговый метод, то 
ba =
0, 
ааф0.
Могут ока­
заться равными нулю и другие коэффициенты 
Ьк,
но не все, так как 
по условию 
Ь0 + Ь, + . .
, + Ьт = 1 (см. (3) из §3). Пусть 60 = й, = . . .
. . . = fej_, = 0, 
Ърф
0, 0 < / ^ т . Тогда из (20) получим
aoqm
+
ад”1-1
+ • • • + « „
м т_/+
Отсюда видно, что при больших 
q
функция р(д) ведет себя как
6
,-ч ’
' ^
Следовательно, для любого достаточно большого по модулю чис­
ла р (в том числе и для р, лежащих в левой полуплоскости) най­
дется корень 
q
уравнения (18) с 
\ q\~^\.
Доказано (см. [37] и указанную там литературу), что 
среди не­
явных линейных многошаговых методов нет A -устойчивых методов,
имеющих порядок точности выше второго.
Примером Л-устойчиво- 
сти метода второго порядка точности является симметричная схе­
ма (19).
254

---

В связи с этим было введено еще несколько определений устой­
чивости, которые являются менее ограничительными, чем определе­
ние Л-устойчивости.
Разностный метод называется 
А(а)-устойчивым,
если область 
его 
устойчивости содержит угол
I arg (—ц) | 
< а,
ц = тХ.
В частности, 
А
^-|-устойчивость совпадает с Л-устойчивостью.
Доказано, что 
ни для какого а не существует явного А (а)-устой­
чивого линейного многошагового метода.
Построены Л (а)-устойчи­
вые неявные методы третьего и четвертого порядка точности. К ним 
относятся, в частности, чисто неявные многошаговые разностные 
схемы, у которых правая часть /(/, 
и)
вычисляется только при 
t =
= t„,
а производная 
u'(t)
аппроксимируется в точке 
tn
по несколь­
ким предыдущим точкам. Например, схема