А. А. Самарский, А. В. Гулин

max 1 Re 
),k (t) |
min 
| Re 
%k (t) \
1
Система (12) называется 
жесткой на решении v(i) и на данном
интервале Q 
если
1) R e ^ ( 0 < 0 , 6= 1,2, 
для всех t e ( 0 , 
Т),
2) число sap 
s{t)
велико.
t&
0,7)
4. Специальные определения устойчивости. При исследовании 
разностных методов для жестких систем уравнений обычно рассма­
тривают уравнение
= }м,
(
16
)
di
252

---

где 
X
— произвольное комплексное число. Свойства различных раз­
ностных методов изучают и сопоставляют на примере модельного- 
уравнения (16). Для того чтобы уравнение (16) действительно мо­
делировало исходную систему (11), необходимо рассматривать его 
при всех таких 
X,
которые являются собственными числами матри­
цы 
А.
Разностный метод (2), примененный к уравнению (16), имеет
вид
т
2 (а* — 
p h )Уп-k
= 0, 
п — т,
т + 1 ,
(17)
ft=0
где р, = тХ — комплексный параметр.
Если искать решения уравнения (17), имеющие вид 
y n = qn,
то 
для 
q
получим характеристическое уравнение
т
2
(ak — ubk)qm-k = 0,
(18)
k=Q
отличающееся от уравнения (3) тем, что его коэффициенты зависят 
от параметра (х = т1. При малых р, корни уравнений (3) и (18) близ­
ки. Однако в дальнейшем мы не будем делать предположений отно­
сительно малости р.
Кроме обычного определения устойчивости разностного метода 
(все корни характеристического уравнения (18) не превосходят но 
модулю единицу), в случае жестких систем используют и другие, 
более узкие определения устойчивости. Здесь мы рассмотрим два 
таких определения: Л-устойчийый метод и Л (а)-устойчивый метод.
Предварительно введем следующее понятие. 
Областью устойчи­
вости разностного метода
(2) называется множество всех точек 
комплексной плоскости р = тХ, для которых данный метод, приме­
ненный к уравнению (16), является устойчивым.
Рассмотрим, например, явный метод Эйлера
= /( < „
и,).
т
В применении к уравнению (16) этот метод принимает вид
уп+1= (1+]х)г/„, р = тХ.
Условие устойчивости 11 + ц| ^ 1 для комплексного p = p 0 + ipi озна­
чает, что (р0+ 1 ) 2+ |Д 
1. Тем самым область устойчивости дан­
ного метода представляет собой круг единичного радиуса с центром 
в точке (—1, 0).
Для неявного метода Эйлера
т
областью устойчивости является внешность круга единичного ра­
диуса с центром в точке (1, 0).
253

---

Разностный метод называется 
A-устойчивым,
если область его 
устойчивости содержит левую полуплоскость R ep < 0 . Отметим, что 
уравнение (16) асимптотически устойчиво при ReX<0. Поэтому 
сущность приведенного определения состоит в том, что Л-устойчи- 
вый разностный метод является абсолютно устойчивым (устойчи­
вым при любых т > 0 ), если устойчиво решение исходного диффе­
ренциального уравнения.
Нетрудно видеть, что неявный метод Эйлера является Л-устой- 
чнвым, а явный метод Эйлера — не является.
Рассмотрим еще одношаговый метод второго порядка точности
— Уп
=
0,5 (/ 
(tn+u уп¥1)
+ /
(1п, уп)).
Для уравнения (16) метод принимает вид
Уп
+1 — 
ЯУп,
1